8. Schrödinger-Gleichung

Der Weg zur Schrödinger-Gleichung

8.1 Mathematische Beschreibung von Quantenobjekten – 8.2 Präparation von Elektronen auf bestimmten Impuls und kinetische Energie
8.3 Die Wellenfunktion eines freien Elektrons – 8.4 Operatoren für physikalische Größen – 8.5 Der Operator der kinetischen Energie – 8.6 Die Eigenwertgleichung
8.7 Der Operator der Gesamtenergie – 8.8 Die Grundgleichung der Quantenmechanik – 8.9 Das Auffinden stationärer Zustände mit der Schrödinger-Gleichung
8.10 Selbstkontrolle – 8.11 Zusammenfassung

In diesem Kapitel gehen wir von der qualitativen zur quantitativen Betrachtung von Quantenobjekten über. Wir vertiefen die Beschreibung von Quantenobjekten durch Wellenfunktionen und führen Operatoren und Eigenwertgleichungen ein. Damit gelangen wir zur Eigenwertgleichung der Gesamtenergie, der Schrödinger-Gleichung.
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8.1 Mathematische Beschreibung von Quantenobjekten

Die allgemeinen Ziele der Physik lassen sich grob in zwei Kategorien einteilen:

Qualitatives Verständnis, d. h. Einsicht in die grundlegenden Wirkungszusammenhänge der Naturphänomene gewinnen. Beispiel: Die gleiche Grundkraft ist verantwortlich für die Bewegung des Mondes um die Erde und das Herabfallen eines losgelassenen Steins.
Quantitatives Verständnis, d. h. Quantitatives Beschreiben der Naturphänomene.
Beispiel: Die Herleitung der Bahnkurve für einen geworfenen Stein oder der Mondbewegung aus den Newtonschen Gesetzen.

In den vorangegangenen Kapiteln wurde Wert auf das qualitative Verständnis der Quantenmechanik gelegt. Dabei wurden die Begriffe

der Wellenfunktion $\psi(x,t)$ und
der Wahrscheinlichkeitsdichte $P(x,t) = \left| \psi(x,t) \right|^2$ ;

eingeführt. In diesem Kapitel suchen wir nach der expliziten mathematischen Gestalt der Wellenfunktion für ein gegebenes Ensemble von Quantenobjekten. Dies wird uns zur Schrödinger-Gleichung führen.

8.2 Präparation von Elektronen auf bestimmten Impuls und kinetische Energie

Als Vorüberlegung wird die Präparation eines Ensembles von Elektronen auf einen bestimmten Impuls bzw. kinetische Energie betrachtet.

Elektronen kann man in einer Kathodenstrahlröhre näherungsweise auf einen bestimmten Impuls bzw. kinetische Energie präparieren, wenn man sie eine Beschleunigungsspannung durchlaufen lässt.

Präparation der Eigenschaft kinetische Energie

8.3 Die Wellenfunktion eines freien Elektrons

Wie sieht nun die Wellenfunktion für ein Ensemble von Elektronen mit bestimmtem Impuls aus?

Der einfachste Ansatz ist eine harmonischen Welle, die aus der klassischen Wellenlehre bekannt ist:

$\psi_{px}(x,t) = A \cdot sin \left( \frac{2 \pi x}{\lambda} - \frac{2 \pi t}{T} \right) + B \cdot cos\left( \frac{2 \pi x}{\lambda} - \frac{2 \pi t}{T} \right)$

$A$ und $B$ sind konstante Faktoren. Der Term $(2 \pi \cdot t/T)$ im Argument des Sinus- bzw. Kosinusterms gibt die Zeitabhängigkeit der Welle wieder.

In Abschnitt 5.3 wurde den Elektronen auf Grund der Interferenzerscheinungen eine Wellenlänge, die de-Broglie-Wellenlänge, zugeordnet:

$\lambda = \frac{h}{p_x} = \frac{h}{ \sqrt{2mE_{kin}}}$

Mit der de-Broglie-Wellenlänge und der Abkürzung

$\hbar = \frac{h}{2 \pi}$

erhalten wir:

Die Wellenfunktion, die einem auf einen bestimmten Impuls $p_{x_0}$ präparierten Ensemble von Quantenobjekten zugeordnet ist:

$\psi_{pA}(x,t) = A \cdot sin \left( \frac{p_x}{\hbar} \cdot x - \frac{2 \pi t}{T} \right) + B \cdot cos \left( \frac{p_x}{\hbar} \cdot x - \frac{2 \pi t}{T} \right)$

Für eine bestimmte Energie E_kin ergibt sich entsprechend:

$\psi_{E_{kin}}(x,t) = A \cdot sin \left( \frac{\sqrt{2mE_{kin}}}{\hbar} \cdot x - \frac{2\pi t}{T} \right) + B \cdot cos \left( \frac{\sqrt{2mE_{kin}}}{\hbar} \cdot x - \frac{2\pi t}{T} \right)$

Komplexe Zahlen können im Unterricht vermieden werden.

8.4 Operatoren für physikalische Größen

Wir wissen, dass bei einem Experiment durch die Präparation die Quantenobjekte erst in den gewünschten Zustand gebracht werden müssen. Diesem experimentellen “Herstellen” eines bestimmten Zustands durch Präparation entspricht auf der theoretischen Seite der Angabe der Wellenfunktion.

Wenn man ein auf kinetische Energie präpariertes Ensemble vorliegen hat, möchte man den Wert der kinetischen Energie erschließen. Im Experiment geschieht das durch eine Messung. In der Theorie leistet dies mathematisch ein Operator.

Operatoren:

Ein Operator ist die Anweisung, eine bestimmte mathematische Operation an der Wellenfunktion $\psi(x)$ durchzuführen. Man symbolisiert die Anwendung eines Operators $\hat{A}$ auf die Wellenfunktion $\psi(x)$ durch $\hat{A} \cdot \psi(x)$ .

Beispiele:

- Multiplikation einer Konstanten:
  Ist der Operator $\hat{A}$ “Multiplikation mit einer Konstanten $c$ “, dann steht $\hat{A} \cdot \psi(x)$ für $c \cdot \psi(x)$ .
- Differentiation der Wellenfunktion:
  Ist der Operator $\hat{C}$ “Differentiation nach $x$ “, dann steht $\hat{C} \psi(x)$ für

$\psi'(x) = \frac{d \psi(x)}{dx}$

Die folgende Abbildung zeigt die Analogie zwischen der Messung und der Anwendung eines Operators.
Analogie zwischen Messung und Anwendung eines Operators.

8.5 Der Operator der kinetischen Energie

Wie kann man aus der Wellenfunktion für ein Ensemble von Elektronen, die auf kinetische Energie präpariert sind, den Wert der kinetischen Energie gewinnen?

Das Auflösen der Gleichung

$\psi_{E_{kin}}(x,t) = A \cdot sin \left( \frac{\sqrt{2mE_{kin}}}{\hbar} \cdot x - \frac{2\pi t}{T} \right) + B \cdot cos \left( \frac{\sqrt{2mE_{kin}}}{\hbar} \cdot x - \frac{2\pi t}{T} \right)$

nach $E_{kin}$ funktioniert nicht. Wir müssen also eine andere Lösung suchen.

Dazu stellen wir zwei Forderungen an den Operator der kinetischen Energie:

$\hat{E}_{kin} \psi_{E_{kin}} \begin{matrix} \\ \nearrow \\ \searrow \\ \\ \end{matrix} {\displaystyle {\begin{aligned} &\left \text{reproduziert} \: \psi_{E_{kin}}\\ \\ &\left \text{liefert Wert von} \: E_{kin} \end{aligned}$

- - Die Anwendung des Operators auf die Wellenfunktion soll diese bis auf einen konstanten Faktor reproduzieren.
  - Es soll bei der Anwendung des Operators die Information über den Wert der kinetischen Energie geliefert werden.

Die Operation “zweimal differenzieren” erfüllt die gewünschten Bedingungen:

$- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psi_{E_{kin}}(x) = E_{kin} \cdot \psi_{E_{kin}}(x)$

Der Operator der kinetischen Energie ist

$\hat{E}_{kin} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2}$

.
Wendet man ihn auf eine Wellenfunktion an, die ein Ensemble von Quantenobjekten mit bestimmter kinetischer Energie beschreibt, wird die Wellenfunktion reproduziert; der Proportionalitätsfaktor gibt den Wert der kinetischen Energie wieder:

$\hat{E}_{kin} \cdot \psi_{kin}(x) = E_{kin} \cdot \psi_{kin}(x)$

.
Achtung: Auf der linken Seite der Gleichung steht ein Operator, auf der rechten dagegen eine Zahl.

8.6 Die Eigenwertgleichung

Mit dem Konzept des Operators für eine physikalische Größe kann man nun auch mathematisch eine Frage beantworten, die uns schon früher beschäftigt hat: Besitzt ein Ensemble von Quantenobjekten die betrachtete Eigenschaft?

Mit dem Operator $\hat{E}_{kin}$ kann man die Frage beantworten:
Besitzen die Quantenobjekte, die von einer bestimmten Wellenfunktion $\psi(x)$ beschrieben werden, die Eigenschaft “kinetische Energie” oder nicht?

- - Wenn die Wellenfunktion die Eigenwertgleichung
    
    $\hat{E}_{kin} \cdot \psi_{kin}(x) = E_{kin} \cdot \psi_{kin}(x)$
    
    erfüllt, besitzen die Quantenobjekte tatsächlich die Eigenschaft “wohldefinierte kinetische Energie”. Der Wert der kinetischen Energie, den man den Quantenobjekten in diesem Fall zuschreiben kann, wird durch den Proportionalitätsfaktor $E_ {kin}$ (Eigenwert der kinetischen Energie) angegeben.
  - Ist die Eigenwertgleichung nicht erfüllt, besitzen die durch $\psi(x)$ beschriebenen Quantenobjekte die Eigenschaft “wohldefinierte kinetische Energie” nicht.

Beispiel (Gaußsche Wellenfunktion): $\psi_{Gau\ss} \sim e^{- \frac{(x-x_0)^2}{2 \sigma^2}}$ ist eine Wellenfunktion, die ein Ensemble von Quantenobjekten beschreibt, das die Eigenschaft kinetische Energie nicht besitzt. Wendet man den Operator für die kinetische Energie an, kann man das Ergebnis nicht in der Form

$\hat{E}_{kin} \cdot \psi_{Gau\ss}(x) = \text{Konstante} \: \cdot \psi_{Gau\ss}(x)$

schreiben. Die Eigenwertgleichung ist also nicht erfüllt.

Eigenwertgleichung als Maschine

Bemerkungen:

- 1. Man kann die Eigenwertgleichung anschaulich als eine “Maschine” auffassen: Wenn man die Maschine mit einer Wellenfunktion füttert, zeigt sie an, ob Quantenobjekte im Zustand $\psi$ die Eigenschaft $A$ besitzen oder nicht.
  2. Wenn die Eigenwertgleichung erfüllt ist, wird bei einer Messung auf jeden Fall der Wert $E_{kin}$ gefunden. Dies ist ja gerade die Bedeutung des Ausdrucks “besitzt die Eigenschaft kinetische Energie”.
  3. Wenn die Eigenwertgleichung nicht erfüllt ist, streuen die Messwerte bei einer Messung der kinetischen Energie.

8.7 Der Operator der Gesamtenergie

In der klassischen Physik ist die Gesamtenergie die Summe aus kinetischer und potentieller Energie. Wie sieht es in der Quantenmechanik aus, wo man physikalische Größen durch Operatoren beschreibt?

Zur Beantwortung dieser Frage wird das folgende Gedankenexperiment betrachtet (es handelt sich um eine Erweiterung des Experiments mit der Kathodenstrahlröhre, Lekt. 8.2):
Die Elektronen sind durch die Beschleunigungsspannung auf eine feste Energie präpariert worden (Region $I$ ). Durchläuft nun der Elektronenstrahl eine weitere Beschleunigungsspannung $U$ , dann besitzen die Elektronen in der Region $III$ eine andere Energie $E_{kin}^{(III)}$ .

Auf kinetische Energie präparierte Elekronen durchlaufen nochmals eine Beschleunigungsspannung

	Beschreibung des Potentials	Potentialverlauf
Region I	Das Potential hat den konstanten Wert Null.	$V(x) = 0$
Region II	Die Elektronen werden beschleunigt.	$V(x) \sim x$
Region III	Das Potential hat den konstanten Wert $V_0$ . Die auslaufenden Elektronen besitzen die Eigenschaft “kinetische Energie”.	$V(x) = V_0 \: \text{mit} \: V_0 \le 0$ .

Die Abbildung zeigt den Verlauf des Potentials:

Potentialverlauf in den Regionen I-III

Die ausführliche Überlegung zur Gestalt des Operators der Gesamtenergie finden Sie im Lehrtext. Hier eine kurze Zusammenfassung:

Zunächst wird die Wellenfunktion in einem konstanten Potential $V_0$ gesucht. Sie lautet

$\displaystyle {\psi_{E_{kin}}(x,t) = A \cdot sin \left( \frac{\sqrt{2m(E_{ges}-V_0)}}{\hbar} \cdot x - \frac{2\pi t}{T} \right) + B \cdot cos \left(\frac{\sqrt{2m(E_{ges}-V_0)}}{\hbar} \cdot x - \frac{2\pi t}{T} \right)}$
Wieder wird die Forderung aufgestellt, dass sich bei der Anwendung des Operators der Gesamtenergie die Wellenfunktion reproduzieren soll.

Der Operator der Gesamtenergie ist

$\hat{E}_{ges} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + V(x)$

.
Er setzt sich aus dem Operator der kinetischen Energie und dem Operator der potentiellen Energie zusammen:

$\hat{E}_{ges} = \hat{E}_{kin} + \hat{E}_{pot}$

Dabei entspricht der Operator $\hat{E}_{pot}$ einfach der Multiplikation der Wellenfunktion mit $V(x)$ .

8.8 Die Grundgleichung der Quantenmechanik

Wir sind nun an einer entscheidenden Stelle der Quantenmechanik angekommen. Mit dem Begriff der Eigenwertgleichung und dem Operator der Gesamtenergie können wir nun die Grundgleichung der Quantenmechanik, die Schrödinger-Gleichung aufstellen.

Dazu zunächst ein neuer Begriff: Zustände, in denen sich die Wahrscheinlichkeitsdichte $|\psi(x)|^2$ zeitlich nicht ändert, nennt man stationäre Zustände. Sie sind deshalb so wichtig, weil sie keine Energie mit der Umgebung austauschen. Sie besitzen die Eigenschaft “Gesamtenergie”.

Um stationäre Zustände zu finden, löst man die Eigenwertgleichung der Gesamtenergie

$\left[ - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2}+V(x) \right] \psi(x) = E_{ges} \cdot \psi(x)$

.
Sie heißt stationäre Schrödinger-Gleichung und ist eine der wichtigsten Gleichungen der Quantenmechanik.

Ein Zustand mit der zeitunabhängigen Wahrscheinlichkeitsdichte $|\psi(x)|^2<span style="font-size: 13.3333px;">$ heißt stationärer Zustand. Quantenobjekte in stationären Zuständen besitzen die Eigenschaft “Gesamtenergie”. Ihre Wellenfunktion $\psi(x)$ erfüllt die Schrödinger-Gleichung, d. h. die Eigenwertgleichung für die Gesamtenergie

$\left[ - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2}+V(x) \right] \psi(x) = E_{ges} \cdot \psi(x)$

8.9 Das Auffinden stationärer Zustände mit der Schrödinger-Gleichung

Bis jetzt haben wir die Eigenwertgleichung benutzt, um nachzuprüfen, ob ein Ensemble von Quantenobjekten, das durch die Wellenfunktion $\psi(x)$ beschrieben wird, eine Eigenschaft besitzt.
Nun wollen wir durch die Lösung der Schrödinger-Gleichung die Wellenfunktion finden, die Ensembles die Eigenschaft “Gesamtenergie” zuschreibt.

Vorgehensweise:

1. Analyse der physikalischen Situation:

Auffinden der Gleichung des Potentials $V(x)$ .

2. Einsetzen des Potentials in die Schrödinger-Gleichung:

Damit erhält man eine Gleichung, die $\psi(x)$ erfüllen muss, damit es die Eigenschaft “Gesamtenergie” besitzt.

3. Lösen der Schrödinger-Gleichung:

Durch Lösen der Eigenwertgleichung kann die Wellenfunktion $\psi(x)$ gefunden werden. Die Lösung dieser Differentialgleichung ist oft kompliziert. Deshalb greift man auf einfache Modelle zurück bzw. greift zu Näherungsverfahren.

Vorgehensweise beim Lösen der Schrödinger-Gleichung

Hier finden Sie eine Aufgabensammlung zur Quantenmechanik.

8.10 Selbstkontrolle

In diesem Kapitel waren die folgenden Inhalte von Bedeutung:

- - Was ist ein Operator?
  - Wie lautet der Operator der kinetischen Energie und wie leitet man ihn her?
  - Was versteht man unter einer Eigenwertgleichung und einem Eigenwert?
  - Welche Gestalt besitzt der Operator der Gesamtenergie?
  - Wie lautet die Schrödinger-Gleichung und was sagt sie aus?
  - Wie geht man vor, um stationäre Zustände zu finden?

Bevor Sie zum nächsten Kapitel weitergehen, vergewissern Sie sich, dass Sie über die Grundzüge dieser Inhalte Bescheid wissen. Anschließend können Sie dies anhand der Zusammenfassung überprüfen.

8.11 Zusammenfassung von Lektion 8: Der Weg zur Schrödinger-Gleichung

Im bisherigen Kurs war die Beschreibung von Elektronen mit Wellenfunktionen rein qualitativ. Im 8. Kapitel gehen wir zur quantitativen Beschreibung über, d. h. wir suchen die explizite mathematische Gestalt der Wellenfunktionen.

Die Wellenfunktion eines auf kinetische Energie präparierten Ensembles lautet:

$\displaystyle {\psi_{E_{kin}}(x,t) = A \cdot sin \left( \frac{\sqrt{2mE_{kin}}}{\hbar} \cdot x - \frac{2\pi t}{T} \right) + B \cdot cos \left(\frac{\sqrt{2mE_{kin}}}{\hbar} \cdot x - \frac{2\pi t}{T} \right)}$ .

Ob eine Wellenfunktion Quantenobjekte mit einer bestimmten Eigenschaft (z. B. kinetische Energie) beschreibt, testet man mit der Eigenwertgleichung für diese Eigenschaft. Die Eigenwertgleichung für die kinetische Energie lautet:

$\hat{E}_{kin} \cdot \psi_{kin}(x) = E_{kin} \cdot \psi_{kin}(x).$

Dabei ist $\hat{E}_{kin}$ der Operator der kinetischen Energie:

$\hat{E}_{ges} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2}$

Die stationäre Schrödingergleichung

$\left[ - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2}+V(x) \right] \psi(x) = E_{ges} \cdot \psi(x) .$

ist die Eigenwertgleichung der Gesamtenergie. Ihre Lösungen sind die stationären Zustände, deren Antreffwahrscheinlichkeit zeitlich konstant ist.