Stetigkeitsbedingungen

Die Schrödinger-Gleichung verlangt die Berechnung der zweiten Ableitung der Wellenfunktion nach dem Ort. Deshalb muss mindestens die Wellenfunktion und ihre erste Ableitung stetig sein.

1. Wellenfunktion stetig an $x = \dfrac{a}{2}$ :

$B \cos\biggl(\dfrac{ka}{2}\biggr) = C \text{exp}\biggl(-\dfrac{ga}{2}\biggr) \quad \text{(1)}$

2. Ableitung der Wellenfunktion an $x = \dfrac{a}{2}$ :

$- B k \sin\biggl(\dfrac{ka}{2}\biggr) = - C g \text{exp}\biggl(-\dfrac{ga}{2}\biggr) \quad \text{(2)}$

Einsetzen der beiden Gleichungen ineinander ergibt:

$- B k \sin\biggl(\dfrac{ka}{2}\biggr) = - g B \cos\biggl(\dfrac{ka}{2}\biggr) \quad \text{oder}$

$k \cdot \tan\biggl(\dfrac{ka}{2}\biggr) = \gamma = \sqrt{\dfrac{2mV_0}{\hbar^2} - k^2}$

Diese Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Lösung des homogenen Gleichungsystems (1), (2) existiert. Die letzte Gleichung ist eine transzendente Gleichung zur Bestimmung der möglichen Werte von $k$ und damit der möglichen Werte der Energie $E$ , die bekanntlich allgemein nicht geschlossen gelöst werden kann.

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