Mittelung des Coulomb-Potentials

Mittelung des Coulomb-Potentials über eine Kugel mit Radius R

Eine exaktere Methode die Potentialtopf-Tiefe anzupassen besteht darin, dass das Coulomb-Potential $W$ über eine Kugel mit Radius $R$ gemittelt wird.

Innerhalb des Potentialtopfs hat das Potential einen konstanten Wert $W_0$ . Der Potentialtopf approximiert das Coulomb-Potential am besten, wenn man $W_0$ so wählt, daß es die „mittlere Tiefe“ des Coulomb-Potentials darstellt. Dazu berechnet man den Mittelwert $\overline{W}$ des Coulomb-Potentials über eine Kugel mit Radius $R$ .

$\overline{W} = \dfrac{1}{V} \cdot \displaystyle\int \overline{W} (\vec{x}) d^3x$

Dabei ist $V = \dfrac{4\pi}{3} R^3$ das Volumen der Kugel. Einsetzen von $W (\vec{x}) = - \dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0r}$ und Ausschreiben des Volumenelements ergibt:

$\overline{W} = - \dfrac{1}{V} \cdot \dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0} \displaystyle\int_{0}^{R} \dfrac{1}{r} \cdot 4\pir^2 dr$

Auswertung des Integrals: $\displaystyle\int_{0}^{R} r dr = \dfrac{1}{2} R^2$ . Damit wird die mittlere Energie

$\overline{W} = - \dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0} \cdot \dfrac{4\pi}{V} \cdot \dfrac{1}{2} R^2$ .

Zum Schluss muß noch $V = \dfrac{4\pi}{3} R^3$ eingesetzt werden. Das Ergebnis ist:

$\overline{W} = - \dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0} \cdot \dfrac{4}{\dfrac{4\pi}{3} R^3} \cdot \dfrac{1}{2} R^2$

bzw.

$\overline{W} = - \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0R} = + \dfrac{3}{2} E$ .

Mit dieser Beziehung, $W_0 = \overline{W} = \dfrac{3}{2} E$ , ist die Tiefe des Potentialtopfs (d. h. die Lage des Potentialtopfbodens unterhalb des Nullniveaus) festgelegt.

Die hier verwendete Mathematik ist etwas kompliziert, da sie ein dreidimensionales Volumenintegral enthält. Um die hier vorgestellte Methode im Unterricht einsetzen zu können, muss man diese aufwendige Mathematik umgehen. Ein möglicher Weg wird im Folgenden gezeigt.

Man teilt die Kugel in einzelne Kugelschalen der Dicke $\Delta r$ auf (vgl. Bild). Für kleine $\Delta r$ ist das Volumen einer Kugelschale $\Delta V = \text{(Kugeloberfläche)} \times \text{(Dicke)} = 4 \pi r^2 \Delta r$ . Da das Coulomb-Potential kugelsymmetrisch ist, ist es innerhalb jeder Kugelschale konstant (falls $\Delta r$ klein genug ist) und hat den Wert $W (\Delta V)$ .

Der Mittelwert wird jetzt über alle Kugelschalen berechnet, wobei mit dem Volumen der Kugelschale gewichtet wird:

$\overline{W} = \dfrac{1}{V} \displaystyle\sum\limits_{\text{alle Schalen}} W (\Delta V_n) \cdot \Delta V_n$ .

Ausschreiben des Coulomb-Potentials und von $\Delta V = 4 \pi r^2 \Delta r$ liefert:

$\overline{W} = \dfrac{1}{V} \displaystyle\sum\limits_{\text{alle r-Werte}} \biggl( - \dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0r} \biggr) \cdot 4\pir^2 \cdot \Delta r$ .

Konstante Terme vor die Summe ziehen und Kürzen von $r$ :

$\overline{W} = - \dfrac{4\pi}{V} \dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0} \displaystyle\sum\limits_{\text{alle r-Werte}} r \cdot \Delta r$ .

Im Grenzwert $\Delta r \to \infty$ ist dies gerade die Definition des Integrals:

$\overline{W} = - \dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{4\pi}{V} \displaystyle\int_{0}^{R} r dr = - \dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{4\pi}{V} \dfrac{1}{2} R^2$ .

Einsetzen von $V = \dfrac{4\pi}{3} R^3$ :

$\overline{W} = - \dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{4\pi}{\dfrac{4\pi}{3}R^3} \cdot \dfrac{1}{2} R^2$ .

Kürzen führt schließlich zum Endergebnis:

$\overline{W} = - \dfrac{3}{2} \dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0R}$ .

Auf diese Weise lässt sich die Verwendung von Volumenintegralen vermeiden.

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