Schrödingergleichung qualitativ

Ein intuitiver Zugang zur Schrödingergleichung

1. Die Schrödingergleichung – 2. Die Gekrümmtheit – 3. Lösung mit dem Computer – 4. Zu den Orbitalen

zur Beschreibung von Energieniveaus und Orbitalen

von J. Küblbeck, Ludwigsburg
(Eine ausführlichere Version dieser Lektion ist erschienen in MNU 55/1 (Jan. 2002), S. 7.)

Vorbemerkung

Wir wollen hier zeigen, wie die Beschreibung der Energieniveaus und im Ansatz auch der Orbitale möglich ist. Wir wollen dabei:

zum Einen ein zeitgemäßes Atommodell benutzen, auf dem an der Hochschule aufgebaut werden kann und
zum Anderen zeigen, wie unter Einsatz von „Gefühl für Funktionen“ und einem Computer die Schulmathematik nicht überstrapaziert wird.

Das Atommodell von Bohr hat viele Jahrzehnte die Atomphysik im Schulunterricht bestimmt. Einfachheit und Anschaulichkeit sind seine Vorzüge, aber auch seine „tödlichen“ Schwächen.

Bohr postuliert diskrete Bahnen, auf denen die Elektronen kreisen. Diese Vorstellung ist derart unvereinbar mit den Wesenszügen der Quantenphysik (z.B. Unbestimmtheit), dass ein Schüler vorher in der Quantenphysik Gelerntes in Frage stellen muss: „Gelten diese Wesenszüge etwa nicht mehr, wenn sich die Quantenobjekte im Feld eines Atomkerns aufhalten?“ Zudem müssten bekanntlich die kreisenden Elektronen Energie abstrahlen und in den Kern stürzen und zwar in einer Zeit, die um etwa 40 Größenordnungen kleiner als der experimentelle Wert für die Lebensdauer der Atome ist.

Eine derart eklatante Diskrepanz wird natürlich auch nicht durch ein Postulat beseitigt, das besagt, dass die Elektronen „strahlungsfrei“ kreisen. Zudem hat Bohrs Atommodell und seine Formel für die Energieniveaus keine große Allgemeingültigkeit. Es gelingt allein die quantitative Beschreibung des unbeeinflussten Wasserstoffatoms (und mit nicht allzu großer Genauigkeit die Näherung für die Ka-Linien nach Moseley). Für Wasserstoff in elektrischen oder magnetischen Feldern und für alle anderen Atome oder Moleküle versagt das Modell.

Auch die diskreten Energieniveaus musste Bohr postulieren. Um sie zu „begründen“ wird als Aufsatz auf Bohrs Atommodell oft die Welle im unendlich hohen Potential betrachtet. Dies ist natürlich kaum zu motivieren und zu rechtfertigen, wenn man mit den Schülern vorher ein Quantenphysik-Modell entwickelt hat, das dem Wellenmodell weit überlegen ist.

Wenn es also eine quantitative Beschreibung der Atome gibt, die

allgemeingültiger ist,
die quantenphysikalischen Wesenszüge widerspiegelt und
in der Schule vermittelbar ist,

dann ist dieser Beschreibung unbedingt der Vorzug vor Bohrs Atommodell zu geben

1. Die Schrödingergleichung

Mit der komplexwertigen Schrödingergleichung gelingt die Beschreibung von zeitabhängigen Phänomenen. Wenn keine Kräfte wirken wie bei den Ausbreitungsphänomenen (z.B. beim Doppelspaltversuch) reduziert sich die Schrödingergleichung zu einer einfachen Wellengleichung, so dass Wahrscheinlichkeitsvorhersagen mit dem Zeigerformalismus wie in der Wellenoptik möglich sind. Elektronen sind allerdings im Atom Kräften ausgesetzt, so dass eine Beschreibung mit Zeigern nicht mehr gelingt. Allerdings sind die Zustände nun stationär, so dass statt mit der komplexen, zeitabhängigen nun mit der reellen, zeitunabhängigen Schrödingergleichung gearbeitet werden kann:

$\Psi '' (x) = - K ( E - E_L (x) ) \cdot \Psi (x) \qquad \qquad \text{mit} \qquad K = \frac{8 \pi^2 m}{h^2}$

Dabei soll $E$ die Energie des Mikroobjekts sein und $E_L (x)$ ist das Potential, also die Lageenergie, die ein klassisches Teilchen in diesem Potential hätte.

Nun ist auch diese zeitabhängige Schrödingergleichung je nach physikalischer Situation leichter oder schwieriger zu lösen, je nachdem welche Form das Potential $E_L (x)$ hat, in dem sich das Quantenobjekt aufhält. Wenn $E_L (x) = 0$ ist, so erhalten wir den ortsabhängigen Teil der Wellengleichung für $\Psi (x)$ .

Vor dem Hintergrund der Modellbildung halten wir eine Herleitung der Schrödingergleichung im Unterricht nicht für nötig. Es genügt zu sagen, dass es dem Nobelpreisträger E. Schrödinger mit Intuition und scharfem Nachdenken gelungen ist, eine Gleichung aufzustellen, welche die Welt der Quanten hervorragend bescheibt – und die Gleichung anzugeben. Da wir in der Schule speziell an der Beschreibung von Atomen interessiert sind, soll die Schrödingergleichung mit Coulombpotential untersucht werden.

$\Psi '' (x) = K \cdot (- \Psi (x) ) \cdot (E - \frac{-q^2}{4 \pi \epsilon_0 r})$

Diese Differentialgleichung kann natürlich mit den Schülern nicht ohne Computerhilfe gelöst werden. Ich halte es aber auch nicht für legitim, nun die Differentialgleichung einfach numerisch zu lösen, ohne dass die Schüler die Lösungen wenigstens qualitativ verstehen. Damit ist gemeint, dass die Schüler verstehen, erstens wie eine Lösung für ein bestimmtes Potential ungefähr aussehen muss und zweitens wie es zu diskreten Energieniveaus (vgl. Abschnitt 2) kommt.

2. Die Gekrümmtheit

Zu erstens: $\Psi '' (x)$ könnte man „Gekrümmtheit“ (Die Krümmung im mathematischen Sinne ist dagegen eine Funktion der zweiten und der ersten Ableitung.) der Kurve nennen. Ist $\Psi '' (x) > 0$ macht das Schaubild für wachsende x eine Linkskurve und umgekehrt.

Abb. 1: Lösung von $\Psi '' (x) \sim (- \Psi(x))$ .

Betrachten wir den Fall $E_L (x) = 0$ , also: $\Psi '' (x) = K \times (- \Psi (x)) \times E$ , dann ist die Gekrümmtheit proportional zu $- \Psi (x)$ . Wenn also z.B. $\Psi (x)$ positiv ist und ansteigt (s. Abbildung 1), dann ist die Gekrümmtheit zunehmend negativ, also eine immer stärkere Rechtskurve. Wenn $\Psi (x)$ daraufhin maximal wird und danach wieder abnimmt, nimmt auch die Rechtskrümmung ab, bis $\Psi (x)$ die x-Achse schneidet. Dort hat die Kurve einen Wendepunkt, $\Psi (x)$ wird negativ und macht folglich jetzt eine Linkskurve. Diese Linkskurve wird um so stärker, je negativer $\Psi (x)$ wird, bis es auch hier sein Extremum erreicht und wieder der x-Achse zustrebt. $\Psi (x)$ führt also eine Schwingung um $\Psi = 0$ aus, die Rechnung zeigt, dass es eine Sinus-Schwingung ist.

Nach dieser Analyse ist es ein Leichtes, den Einfluss von einfachen Potentialen auf $\Psi (x)$ vorherzusagen: Angenommen $E_L (x)$ steigt mit wachsendem $x$ langsam an (s. Abbildung 2), und $E$ sei 0, so ist die Differenz $E - E_L (x)$ weiterhin positiv, ihr Betrag nimmt aber stetig ab. Infolgedessen nimmt auch die Gekrümmtheit der Einzelschwingungen von $\Psi (x)$ mit wachsendem $x$ ab.

Abb. 2: $\Psi (x)$ bei geneigtem Topfboden

Da auch das $\frac{1}{r}$ -Potential nach rechts ansteigt, zeigt unser $\Psi (x)$ bereits die wichtigsten Eigenschaften der $\Psi$ -Funktionen im Wasserstoffpotential.

Zu zweitens: Warum gibt es diskrete Energieniveaus? Die $\Psi (x)$ -Funktionen müssen physikalisch sinnvoll sein, d.h. ihr Betragsquadrat muss außerhalb des Potentialbereichs gegen 0 gehen, ansonsten würde man das Quantenobjekt hauptsächlich im klassisch verbotenen Bereich finden. Dies widerspricht den experimentellen Ergebnissen.

Ein Beispiel:

Gegeben ist ein Kastenpotential mit endlicher Tiefe (s. Abbildung 3), und weiterhin sei $E = 0$ . Im x-Bereich, wo $E_L (x) < 0$ , bekommen wir die vertrauten Schwingungen, für die x-Werte, wo das Potential einen Sprung macht, hat $\Psi (x)$ nun einen Wendepunkt (gestrichelte Linien).

Abb. 3: $\Psi (x)$ im endlichen Potentieltopf

Danach muss die $\Psi (x)$ -Funktion die Gleichung $\Psi '' (x)$ proportional $\Psi (x)$ lösen, sie verhält sich also exponentiell. Physikalisch sinnvoll ist allein, wenn $\Psi (x)$ sich an die x-Achse anschmiegt. Die Wahrscheinlichkeit $\Psi^2 (x)$ ist nun im klassisch verbotenen Bereich klein, aber endlich. Tatsächlich können Quantenobjekte auch solche Bereiche durchqueren. Dies ist der Tunneleffekt. Er wurde experimentell nachgewiesen.

Wenn nun $\Psi (x)$ an einer Seite festgehalten wird und die Energie $E$ nach oben bzw. unten variiert wird, so wird auch die Krümmung von $\Psi (x)$ im gesamten Bereich größer bzw. kleiner. Wir haben also „Glück gehabt“, wenn sich für unsere Energie $E = 0$ die Kurve von $\Psi (x)$ für große x an die x-Achse anschmiegt.

Eine etwas größere Energie würde zu stärkerer Oszillation von $\Psi (x)$ führen, so dass $\Psi (x)$ nach rechts unten hin exponentiell steigen würde (s. Abbildung 4). Umgekehrt würde eine etwas kleinere Energie dazu führen, dass $\Psi (x)$ nach rechts oben „entweichen“ würde. Erst wenn die Energie deutlich höher oder niedriger wäre, könnte eine halbe Oszillation mehr oder weniger in den Topfbereich passen, so dass $\Psi (x)$ wieder asymptotisch gegen 0 ginge. Die Randbedingungen werden also im allgemeinen für mehrere, ganz bestimmte diskrete Energien gelöst.

Abb. 4: Die Randbedingung ist nicht erfüllt

3. Lösung mit dem Computer

Nachdem nun die wesentlichen Ideen bei der Lösung der Schrödingergleichung für verschiedene Potentiale verstanden wurden, kann man die numerische Feinarbeit an den Computer abgeben. Es existiert diverse Software, die die Schrödingergleichung für verschiedene Potentiale löst. Ein Vertreter findet sich im Software-Paket von F. Bader [DoB96], ein anderer, der besonders flexibles Einstellen der Potentiale erlaubt ist in ALEA (erhältlich beim Klett-Verlag) enthalten. Vom Autor dieses Artikels existieren zwei Programme, die eigens für diesen Unterrichtsgang programmiert wurden.

In Schrödingers Wippe kann man in einem Kastenpotential die Neigung des Kastenbodens verstellen und so den Einfluss von $E_L (x)$ auf die $\Psi (x)$ -Kurve studieren.
Schrödingers Schlange löst die Schrödingergleichung für das Coulomb-, das harmonische und das Kastenpotential mit endlicher Tiefe. Dabei können die Energieniveaus durch Verschieben von mehreren Reglern auf sechs Stellen genau eingestellt werden, bis sich die $\Psi (x)$ -Kurve erkennbar gut an die x-Achse anschmiegt.

4. Zu den Orbitalen

Aus dem Verlauf von $\Psi (x)$ erhält man durch Quadrieren die Wahrscheinlichkeit $P (x)$ , das Elektron bei einer Ortsmessung am Ort $x$ nachzuweisen. Durch Übertragung der zugehörigen $P (x)$ -Funktionen auf die drei Raumrichtungen erhält man den räumlichen Verlauf von $P (x)$ und damit eine stimmige Interpretation der aus der Chemie geläufigen Orbitale.

Ich empfehle, dazu die $P (x)$ -Funktionen vom Potentialtopf zu nehmen. Der Grund ist, dass die Schrödingergleichung für das H-Atom eigentlich dreidimensional gelöst werden müsste. Dies führt zwar zur gleichen Schrödingergleichung (in Abhängigkeit vom Radius $r$ ), allerdings sind die sich ergebenden Lösungen keine $\Psi$ -Funktionen, sondern $r \Psi (x)$ -Funktionen. Die ist auch der Grund, warum die Lösungen für $x = 0$ gegen 0 gehen, obwohl die s-Orbitale in der Nähe des Atomkerns besonders hohe $P (x)$ -Werte anzeigen. Damit das $r$ aus den $r \Psi$ -Funktionen nicht herausgerechnet werden muss, begnügt man sich mit den Orbitalen, die sich in einem dreidimensionalen Topf ergeben würden. Die wesentlichen Gesichtspunkte treten auch hier zutage:

Die erste $\Psi$ -Funktion im Potentialtopf hat einen Bauch, die zweite zwei usw. Entsprechend hat die erste $P (x)$ -Funktion $P_1 (x)$ ein Gebiet maximaler Wahrscheinlichkeit, die zweite $P_2 (x)$ zwei solche Gebiete usw. Ist $P (x)$ in allen drei Raumrichtungen durch $P_1 (x)$ gegeben, so erhält man ein s-Orbital (s. Abbildung 5, folgende Seite), durch Überlagerung von zwei ersten und einer zweiten $P (x)$ -Funktion erhält man ein p-Orbital usw [s.a. Dorn/Bader Physik 12/13, Schroedel, S.280]. Auch die Bildung eines sp-Hybrid, ist durch Überlagerung der ersten mit der zweiten $\Psi$ -Funktion verständlich.

Mit den mächtigen Werkzeugen Schrödingergleichung und Computer ist es nun möglich, auch für komplexere Situationen Vohersagen zu machen, z.B. für solche mit äußeren elektrischen oder magnetischen Felder oder für kompliziertere Atome und Moleküle. Dazu muss jeweils das richtige Potential gefunden werden bzw. die $\Psi$ -Funktion so abgeändert werden, dass sie mehrere Elektronen beschreibt. Diese nichttrivialen Erweiterungen sollen aber dem Hochschulstudium vorbehalten bleiben. Was aber durch diesen Weg gelegt wurde, ist ein Fundament, auf das Erweiterungen aufgesetzt werden können, ohne dass es eingerissen und neu aufgebaut werden muss.

Abb. 5: Orbitale, wie sie aus dem Kastenpotential folgen würden