n-Abhängigkeit der Energiewerte

Die Methode, bei der das Coulomb-Potential durch ein geeignet angepasstes Kastenpotential ersetzt wird, liefert die korrekte $n$ -Abhängigkeit der Wasserstoff-Energiewerte: $E_{ges} \sim -1/n^2$ .

Dabei stellt sich eine Frage: Die Energiewerte des (gewöhnlichen) Potentialtopfs sind proportional zu $n^2$ (vgl. Gleichung $(2)$ im Haupttext). Wie kann ein Potentialtopf-Modell dann eine Energieabhängigkeit von $1/n^2$ liefern?

Antwort: Die Parameter des Potentialtopfs ( $R$ und $W_0$ ) enthalten selbst die Energie $E_{ges}$ (vgl. Gleichung $(1)$ im Haupttext). Setzt man diese energieabhängigen Parameter in die Energieformel $(2)$ ein, so steht $E_{ges}$ auf beiden Seiten der Gleichung. Löst man die Gleichung nach $E_{ges}$ auf, kann sich dabei eine andere $n$ -Abhängigkeit ergeben als die ursprüngliche $E \sim n^2$ – und genau das passiert hier.

Dieser Aspekt des vorgestellten Verfahrens ist etwas schwer zu durchschauen: Im Grunde wird zu jedem Wert von $E_{ges}$ ein anderer Potentialtopf angepasst.

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