11. Der Tunneleffekt

11.1 Der Tunneleffekt – 11.2 Selbstkontrolle – 11.3 Zusammenfassung von Kapitel 11: Der Tunneleffekt

„In der Quantenwelt ist es möglich, sich durch eine energetisch verbotene Zone schnell hindurchzumogeln.“ (Richard Feynman)

In diesem Kapitel wird der quantentheoretische Hintergrund dieses Zitats behandelt. Durch den Nobelpreis an Binnig und Rohrer im Jahr 1986 steht das Rastertunnelmikroskop im Zentrum der Anwendungen des Tunneleffekts.

Dieses Kapitel beinhaltet die Grundlagen, sowie allgemeine Information zum Tunneleffekt, aber es werden auch Vorschläge gegeben, wie in der Schule der Tunneleffekt besprochen werden kann.

11.1 Der Tunneleffekt

In Abschnitt 10.1 wurde der Potentialtopf behandelt, bei dem sich die Elektronen in gebundenen Zuständen befinden. Die Potentialbarriere geht aus dem Potentialtopf durch Spiegelung an der Horizontalen hervor (siehe Abb. 11.1). Die Potentialbarriere liefert allerdings ein gänzlich anderes Verhalten der Quantenobjekte als im Fall des Potentialtopfs. Es fehlen z.B. die gebundenen Zustände mit quantisierten Energieniveaus.

Abb. 11.1: Potentialverlauf V_{(x)} und Gesamtenergie E \le V_0

Klassisch gesehen stellt für jedes Teilchen die Barriere ein Hindernis dar, das nicht überwunden werden kann, wenn die Gesamtenergie E des Teilchens kleiner als die Höhe V_0 der Barriere ist. In der Quantenmechanik ist das anders:

Eine von links einlaufende Welle wird teilweise reflektiert. Der restliche Teil geht aber durch die Barriere hindurch in das Gebiet III hinein. Dies geschieht, obwohl das Gebiet II aus energetischer Sicht für das Quantenobjekt verboten ist. Genauere Details bringt die Lösung der Schrödingergleichung mit sich:

Die Schrödingergleichung für die Potentialbarriere und ihre Lösung

Die Schrödingergleichung

    \[ \left( \hat{E}_{kin} + V_{(x)} \right) \psi_{(x)} = E \cdot \psi_{(x)} \]

lautet in den Gebieten I, II und III:

Gebiet I Gebiet II  Gebiet III
\displaystyle {-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psi = E \cdot \psi} \displaystyle {- \left( \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + V_0 \right) \psi = E \cdot \psi} \displaystyle {- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psi = E \cdot \psi}
 umgeformt:
\displaystyle {\frac{d^2}{dx^2} \psi = -\frac{2mE}{\hbar^2} \cdot \psi}		  umgeformt:
\displaystyle {\frac{d^2}{dx^2} \psi = - \frac{2m(E-V_o)}{\hbar^2} \cdot \psi}		  umgeformt:
\displaystyle {\frac{d^2}{dx^2} \psi = - \frac{2mE}{\hbar^2} \cdot \psi}

Jede der Gleichungen besitzt jeweils zwei unabhängige Lösungsfunktionen. Um eine Lösung für das gesamte Gebiet zu erhalten, müssen die Lösungsteile geeignet zusammengesetzt werden, so dass die Übergänge stetig und stetig differenzierbar sind. Eine der möglichen Gesamtlösungen hat die folgende Form:

\psi_{(x)} = \left\lbrace \begin{array}{ccc} - \frac{k_2}{k_1}\sin(k_1x) + \cos(k_1x) \hspace{158pt} \text{falls} \: x \le 0 \\ \text{exp}(-k_2x) \hspace{200pt} \text{falls} \: 0 < x < a \\ \text{exp}(-k_2a) \cdot \left( - \frac{k_2}{k_1}\sin(k_1(x-a)) + \cos(k_1(x-a)) \right) \hspace{28pt} \text{falls} \: a \le x \end{array}

mit

    \[ k_1 = \frac{1}{\hbar} \sqrt{2mE} \hspace{15pt} \text{und} \hspace{15pt} k_2 = \frac{1}{\hbar} \sqrt{2m(V_0-E)} \]

Hier ist für das Gebiet II ausschließlich die exponentiell abfallende Teillösung verwendet worden. In diesem Fall ist die Intensität im Gebiet III nur ein Bruchteil von der Intensität im Gebiet I. In guter Näherung kann diese geringe Intensität in Gebiet III als durchtunnelter Anteil der Hauptwelle von Gebiet I betrachtet werden.

Warum ist dies nur eine Näherung?

Zur Bestimmung des Transmissionsgrades T werden die Intensitäten (Absolutquadrat der Wellenfunktion) der entsprechenden Gebiete bestimmt und ins Verhältnis gesetzt. Für die oben angegebene Wellenfunktion erhält man:

    \[ \displaystyle{ T = e^{- \sqrt{2m(V_0-E)} \frac{2a}{\hbar}}} \]

Der Transmissionsgrad T ist ein Maß dafür, wie gut die Barriere durchtunnelt werden kann: Je höher die Barriere im Vergleich zur Gesamtenergie ist, desto geringer ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Barriere durchtunnelt wird.

Der Tunneleffekt in Natur und Technik

Der Tunneleffekt in der Schule

11.2 Selbstkontrolle

Nach der Bearbeitung von Kapitel 11 sollten Sie folgende Fragen beantworten können:

  • Wie lautet die Schrödingergleichung für die drei Bereiche bei der Potentialbarriere?
  • Welcher Ansatz wird zur Lösung verwendet? Was gibt der Transmissionskoeffizient an und wovon hängt er ab?
  • Was versteht man unter dem Tunneleffekt?
  • Wie funktioniert
    1. das Feldelektronenmikroskop,
    2. das Rastertunnelmikroskop?
  • Wie lässt sich der \alpha-Zerfall erklären?
  • Welche Möglichkeiten gibt es, den Tunneleffekt in der Schule zu veranschaulichen?

11.3 Zusammenfassung von Kapitel 11: Der Tunneleffekt

Der Tunneleffekt besagt, dass sich Teilchen durch energetisch verbotene Zonen hindurchbewegen können. Der Transmissionsgrad T lässt sich über die Lösung der stationären Schrödingergleichung abschätzen:

    \[ T = e^{- \sqrt{2m(V_0-E)} \frac{2a}{\hbar}} \]

Elektronen können durch starke elektrische Felder aus einem Metall in einen energetisch erlaubten Bereich des Feldes tunneln (Anwendung: Feldelektronenmikroskop).

Ebenso können Elektronen durch einen engen Spalt von einem Metall in ein anderes Metall tunneln (Anwendung: Rastertunnelmikroskop).

Beim \alpha-Zerfall sind die tunnelnden Objekte \alpha-Teilchen, die mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit vom Kern emittiert werden.

Mit Hilfe der Totalreflexion von Licht oder Mikrowellen kann der Tunneleffekt veranschaulicht werden.