Verbindung zur Chemie

Die folgenden Beispiele stellt uns freundlicherweise Dr. Felix Schumacher aus Essen zur Verfügung.

Periodische Randbedingungen

Die sechs p-Elektronen in einem Benzolring (C₆H₆) stellen ein System von drei konjugierten Doppelbindungen dar, die letztlich völlig delokalisiert sind, also – in der Sprache der Chemiker – über das ganze Molekül verschmiert sind. Die Wellenfunktionen dieser Elektronen haben in der Molekülebene eine Knotenebene, und im Folgenden soll nur das Verhalten längs des Benzolringes betrachtet werden; dadurch liegt dann tatsächlich ein eindimensionales Problem vor. Man erhält folgende Eigenfunktionen ( $L$ ist der vorläufig unbekannte Umfang des Benzolringes):

Zustände gerader Parität:

$\varphi_n (x) = \sqrt{\dfrac{2}{L}} \cdot \cos\biggl(2n\pi\dfrac{x}{L}\biggr) \quad n = 0,1,2,3,...$

Zustände ungerader Parität:

$\Psi_n (x) = \sqrt{\dfrac{2}{L}} \cdot \sin\biggl(2n\pi\dfrac{x}{L}\biggr) \quad n = 0,1,2,3,...$

Grundzustand:

$\varphi_0 (x) = \dfrac{1}{\sqrt{L}} \quad \text{(also eine konstante Funktion)}$

Der Eindeutigkeit halber kann man sich vorstellen, dass $x$ der Abstand des Elektrons von einem speziellen C-Atom ist, gemessen entlang des Benzolringes. Die Wellenfunktion muss dann die Periode $L$ aufweisen.

Im Folgenden soll der Umfang des Benzolringes, das ist die Größe $L$ , abgeschätzt werden. Bis auf den Grundzustand sind alle Zustände zweifach entartet. Nimmt man das Pauli-Prinzip zu Hilfe, dann ist unter Berücksichtigung des Spins der Elektronenzustand mit $n = 0$ doppelt und mit $n = 1$ vierfach besetzt. Die erste Anregung erfolgt von $n = 1$ nach $n = 2$ .

Wegen der periodischen Randbedingung muss zusätzlich gelten:

$j (x) = j (x + L) \quad \text{und} \quad \psi (x) = \psi (x + L) \, \text{.}$

Die Energieeigenwerte sind die folgenden:

$E_n = \dfrac{h^2 \cdot n^2}{2mL^2} \, \text{.}$

Also lautet die zugehörige Energiedifferenz :

$\Delta E = \dfrac{h^2}{2mL^2} \cdot (2^2 -1 ) = \dfrac{3 \cdot h^2}{2mL^2} \, \text{.}$

Optisch liegt dieser Übergang im UV bei l = 200 nm; setzt man

$\Delta E = \dfrac{h \cdot c}{\lambda} \quad \text{, so erhält man} \quad L = \sqrt{\dfrac{3h\lambda}{2mc}} \, \text{.}$

Unter der Wurzel stehen nur Naturkonstanten und die Messgröße l = 200 nm. Damit kann man den Umfang des Benzolringes bestimmen; man erhält $L = 0{,}832 \text{nm}$ . Der Abstand zweier C-Atome im Benzolring ergibt sich daraus zu

$d = \dfrac{L}{6} = 0{,}142 \, \text{nm.}$
In der Literatur wird $d = 0{,}139 \text{nm}$ angegeben. Das ist eine Abweichung von lediglich 2%.

Das Modell liefert bei der räumlichen Verteilung der p-Elektronen längs des Benzolrings eine konstante Wahrscheinlichkeitsdichte. Dies ist eine typische aromatische Verbindung.

Ein Anwendungsbeispiel für den linearen Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden sind die Polyene, lineare Kohlenstoff-Wasserstoffverbindungen mit konjugierten Doppelbindungen. Betrachtet man die Verbindungen der p-Elektronen entlang des Moleküls (z.B. b-Carotin), so zeigt sich, dass die Antreffwahrscheinlichkeit an den Enden des Moleküls am größten ist. Bei den Additionsreaktionen lagern sich die Atome immer an den Enden des Molküls an.

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