Parametrisierung der Spielzüge

Die Gesamtheit der quantenmechanisch sinnvollen Spielzüge lässt sich als eine Menge von Matrizen darstellen, die nur von zwei Parametern abhängen:

$\widehat{U} (\Theta, \Phi) = \begin{pmatrix} e^{i \Phi} \cos\biggl(\dfrac{\Theta}{2}\biggr) & \sin\biggl(\dfrac{\Theta}{2}\biggr) \\[4ex] - \sin\biggl(\dfrac{\Theta}{2}\biggr) & e^{i \Phi} \cos\biggl(\dfrac{\Theta}{2}\biggl) \end{pmatrix} , \quad 0 \leq \Theta \leq \pi , \quad 0 \leq \Phi \leq \dfrac{\pi}{2}$

Die beiden klassischen Züge „kooperieren“ (C) und „nicht kooperieren“ (D) werden dabei durch folgende Werte charakterisiert:

$\hat{C} \equiv \hat{U} (0,0) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad \hat{D} \equiv \hat{U} (\pi,0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

Bei den klassischen Zügen und ihren Linearkombinationen ist also der zweite Parameter immer gleich Null. Deswegen existiert mit Q ein weiterer extremer Wert:

$\hat{Q} \equiv \hat{U} \biggl(0,\dfrac{\pi}{2}\biggr) = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}$

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