Warum gerade diese Ansatzfunktionen?

Prinzipiell ist jede der vier Funktionen $\sin(kx)$ , $\cos(kx)$ , $\exp(kx)$ , $\exp(-kx)$ eine Lösung der Schrödinger-Gleichung mit konstantem Potential. Allerdings sind davon jeweils nur zwei (beliebige) unabhängig voneinander. Unter Verwendung komplexer Zahlen lassen sich zwei dieser Funktionen stets durch die anderen beiden ausdrücken, zum Beispiel:

$e^{ikx} = \cos(kx) + i\sin(kx)$

oder

$\sin(kx) = \frac{e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}$

Da zwei Funktionen ausreichen, um alle Lösungen darzustellen, besteht ein allgemeiner Lösungsansatz aus einer Überlagerung von zwei geeignet gewählten Ansatzfunktionen. Wählt man die Ansatzfunktionen geschickt, so bleiben die $k$ -Faktoren (ebenso wie die Gewichtungsparameter) reell.

In einem Gebiet I (klassisch erlaubter Bereich) ist ein solcher Lösungsansatz zum Beispiel

$\psi_{\text{I}}(x) = A\sin(k_{\text{I}} x) + B\cos(k_{\text{I}} x),$

während in einem angrenzenden Gebiet II (klassisch verbotener Bereich) der allgemeine Ansatz

$\psi_{\text{II}}(x) = C \exp(-k_{\text{II}} x) + D \exp(k_{\text{II}} x)$

zum Ziel führt.

Die Ansatzfunktion $\exp(k_{\text{II}} x)$ mit positivem Exponenten ist in Gebiet II physikalisch nicht sinnvoll: Diese Exponentialfunktion wächst unbegrenzt an. Das würde für $x \to \infty$ eine unendlich hohe Aufenthaltswahrscheinlichkeit bedeuten. Der entsprechende Term muss daher verschwinden ( $D = 0$ ).

Generell arbeiten Physiker hier bevorzugt mit komplexen Exponentialfunktionen $e^{ikx}$ bzw. $e^{-ikx}$ statt mit Sinus- und Kosinusfunktionen. Das hat vor allem zwei Gründe:

Mathematisch lässt sich die Exponentialfunktion einfacher handhaben.
Physikalisch sind die komplexen Exponentialfunktionen zugleich Impulseigenfunktionen für ein konstantes Potential. Sie entsprechen also genau einer nach rechts bzw. links laufenden Welle mit Impuls $\pm\hbar k$ .

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