{"id":81,"date":"2018-01-14T21:02:08","date_gmt":"2018-01-14T21:02:08","guid":{"rendered":"http:\/\/134.169.6.169\/milq\/?page_id=81"},"modified":"2026-04-08T16:32:53","modified_gmt":"2026-04-08T14:32:53","slug":"quantenspiele","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.milq.info\/en\/spezialgebiete\/quantenspiele\/","title":{"rendered":"Quantenspiele"},"content":{"rendered":"<div id=\"bsf_rt_marker\"><\/div><p><\/p>\n<h2>Was Sie in dieser Lektion erwartet<\/h2>\n<ul>\n<li>In dieser Lektion erahren Sie etwas dar\u00fcber, welche Auswirkungen die Anwendung der Quantenmechanik auf Teilgebiete der Spieltheorie haben k\u00f6nnte.<\/li>\n<li>Sie werden sehen, dass Quanten-Strategien den klassischen Strategien \u00fcberlegen sein k\u00f6nnen .<\/li>\n<li>Die Grundidee dabei ist die Ausnutzung des Superpositionsprinzip.<\/li>\n<li>Um diese Lektion zu verstehen, sollten Sie bereits quantenmechanische Grundkenntnisse besitzen, insbesondere der Begriff\u00a0<em>Eigenzustand<\/em>\u00a0sollte Ihnen bekannt sein.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: center;\">1. Vorbemerkung\u00a0&#8211;\u00a02. Ein kleines M\u00fcnzspiel\u00a0&#8211;\u00a03. Das &#8220;Gefangenden-Dilemma\u00a0&#8211;\u00a04. Diskussion<\/p>\n<h3>1. Vorbemerkungen<\/h3>\n<p>Zun\u00e4chst wird es Sie vermutlich verwundern, was Quantenphysik und Spiele miteinander zu tun haben. Spiele wie Schach oder Poker basieren schlie\u00dflich haupts\u00e4chlich auf Aktionen wie Bluff, Raten und anderen g\u00e4nzlich unphysikalischen Handlungen. Wenn man das Ganze etwas genauer betrachtet, sprechen allerdings doch einige Argumente f\u00fcr eine Verwicklung der Quantenmechanik mit der Spieltheorie:<\/p>\n<ul>\n<li>F\u00fcr die eigentliche Spiel<em>theorie<\/em>\u00a0ist die bewusste Auswahl von Spielz\u00fcgen eher unwichtig. Im Grunde geht es eigentlich nur um Maximierung oder Minimierung bestimmter Zustandswerte. Da ist es f\u00fcr einen Quantenphysiker nur legitim, zu fragen, was passiert, wenn man Linearkombinationen (Superpositionen) dieser diskreten Zust\u00e4nde zulie\u00dfe.<\/li>\n<li>Wie die Spieltheorie, die vielf\u00e4ltige Anwendungen beispielsweise in der Biologie besitzt, basiert die Quantenmechanik haupts\u00e4chlich auf Wahrscheinlichkeitsaussagen.<\/li>\n<li>Es gibt Theorien, dass die Evolution des Lebens nichts anderes ist als ein &#8220;\u00dcberlebens-Spiel&#8221; auf molekularer (=genetischer) Ebene, also genau in dem Bereich, in dem in der Physik die Quantenmechanik zust\u00e4ndig ist.<\/li>\n<li>Das Gebiet der Quantenkommunikation hat enge Verbindung mit der Spieltheorie. Beispielsweise kann das Belauschen einer solchen Kommunikation durchaus als eine Art Strategiespiel betrachtet werden.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Wie Sie sehen, ist es nicht v\u00f6llig abwegig, die Quantenmechanik auf Spiele anzuwenden. Zudem sind die folgenden Beispiele sehr gut geeignet, etwas Farbe in die doch eher trockene Quantenmechanik zu bringen.<\/p>\n<h3>2. Ein kleines M\u00fcnzspiel<\/h3>\n<p>In diesem Abschnitt wollen wir ein einfaches M\u00fcnzspiel betrachten, das 1999 von David A. Meyer\u00a0[1]\u00a0vorgestellt und diskutiert wurde:<\/p>\n<p>Zwei Personen, hier Alice und Bob genannt, spielen in diesem Spiel gegeneinander. Eine M\u00fcnze wird mit der Zahl-Seite nach oben in eine Schachtel gelegt und diese verschlossen. Nun darf erst Alice, dann Bob und zum Schluss wieder Alice die M\u00fcnze wahlweise umdrehen oder unver\u00e4ndert liegen lassen. Dabei<\/p>\n<ul>\n<li>Kann keiner der beiden die Lage der M\u00fcnze sehen oder f\u00fchlen und<\/li>\n<li>keiner der beiden sehen, welchen Zug der andere getan hat.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Zum Schluss wird die Schachtel ge\u00f6ffnet. Liegt nun die M\u00fcnze mit der Zahl nach oben, gewinnt Alice, sonst gewinnt Bob.<br \/>\nDie folgende Tabelle soll das ganze etwas veranschaulichen (<strong>N<\/strong>: Nicht umdrehen,\u00a0<strong>U<\/strong>: Umdrehen)<\/p>\n<table border=\"3\" align=\"center\">\n<tbody>\n<tr>\n<td dir=\"rtl\" colspan=\"3\" align=\"center\">\u00a0Zug<\/td>\n<td align=\"center\">Gewinner<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"center\">Alice 1<\/td>\n<td align=\"center\">Bob<\/td>\n<td align=\"center\">Alice 2<\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"center\">N<\/td>\n<td align=\"center\">N<\/td>\n<td align=\"center\">N<\/td>\n<td align=\"center\">Alice<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"center\">N<\/td>\n<td align=\"center\">N<\/td>\n<td align=\"center\">U<\/td>\n<td align=\"center\">Bob<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"center\">N<\/td>\n<td align=\"center\">U<\/td>\n<td align=\"center\">N<\/td>\n<td align=\"center\">Bob<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"center\">N<\/td>\n<td align=\"center\">U<\/td>\n<td align=\"center\">U<\/td>\n<td align=\"center\">\u00a0Alice<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"center\">U<\/td>\n<td align=\"center\">N<\/td>\n<td align=\"center\">N<\/td>\n<td align=\"center\">\u00a0Bob<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"center\">U<\/td>\n<td align=\"center\">N<\/td>\n<td align=\"center\">U<\/td>\n<td align=\"center\">\u00a0Alice<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"center\">U<\/td>\n<td align=\"center\">U<\/td>\n<td align=\"center\">N<\/td>\n<td align=\"center\">\u00a0Alice<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"center\">U<\/td>\n<td align=\"center\">U<\/td>\n<td align=\"center\">U<\/td>\n<td align=\"center\">\u00a0Bob<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<h4>Testspiel<\/h4>\n<p>Hier k\u00f6nnen Sie das Alice-Bob-Spiel in der Rolle von Bob einmal probespielen. Gespielt wird mit einer Ein-Euro-M\u00fcnze. Zus\u00e4tzlich werden zu Ihrer \u00dcbersicht die Spielz\u00fcge und die daraus resultierenden Zust\u00e4nde der M\u00fcnze dargestellt.<\/p>\n<p>F\u00fcr die Darstellung der Zust\u00e4nde (<img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.milq.info\/images\/stories\/Spezialgebiete\/Quantenspiele\/z.gif\" alt=\"\" border=\"0\" \/>=&#8221;Zahl oben&#8221;,<img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.milq.info\/images\/stories\/Spezialgebiete\/Quantenspiele\/a.gif\" alt=\"\" border=\"0\" \/>\u00a0=&#8221;Adler oben&#8221;) wurde die in der Quantenmechanik \u00fcbliche\u00a0<em>Bra- und Ket<\/em>-Schreibweise verwendet. Lassen Sie sich davon nicht abschrecken: Es handelt sich lediglich um (Spalten-)Vektoren.<br \/>\nDie Operatoren\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.milq.info\/images\/stories\/Spezialgebiete\/Quantenspiele\/u.gif\" alt=\"\" border=\"0\" \/>\u00a0und\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.milq.info\/images\/stories\/Spezialgebiete\/Quantenspiele\/n.gif\" alt=\"\" border=\"0\" \/>\u00a0stehen f\u00fcr die beiden Strategien &#8220;Umdrehen&#8221; und &#8220;Nicht umdrehen&#8221;.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20GIF\/1Testspiel.gif\" alt=\"\" \/><\/p>\n<h3>Quantenmechanischer Spieler<\/h3>\n<p>Wenn Sie das Spiel auf der vorhergehenden Seite oft genug gespielt haben, d\u00fcrften sich die Anzahl Ihrer Siege und Niederlagen in etwa die Waage halten. Nun versuchen Sie sich einmal gegen diesen Computerspieler:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20GIF\/2Quantenmechanischer%20Spieler.gif\" alt=\"\" \/><\/p>\n<h3>Erkl\u00e4rung der Quanten-Strategie<\/h3>\n<p>Alice hat auf der vorherigen Seite nicht, wie Sie jetzt vielleicht vermuten, heimlich die M\u00fcnze angesehen und entsprechend reagiert. Sie war nur cleverer als vorher und wendete die Quantenmechanik an!<\/p>\n<h4>Ausgangssituation<\/h4>\n<p>Die M\u00fcnze im Alice-Bob-Spiel kennt zwei Grundzust\u00e4nde: Zahl (<img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/1z.gif\" alt=\"\" align=\"absmiddle\" \/>) und Adler (<img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/2a.gif\" alt=\"\" align=\"absmiddle\" \/>).<\/p>\n<p>Sieht man die M\u00fcnze nun als Quantensystem an, so besteht die Menge der m\u00f6glichen Zust\u00e4nde nicht nur aus den klassischen Zust\u00e4nden\u00a0<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/1z.gif\" alt=\"\" width=\"18\" height=\"17\" align=\"absmiddle\" border=\"0\" \/>\u00a0und\u00a0<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/2a.gif\" alt=\"\" width=\"19\" height=\"17\" align=\"absmiddle\" border=\"0\" \/>, sondern auch aus allen komplexen Linearkombinationen\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/3az_ba.gif\" alt=\"\" align=\"absmiddle\" \/>, deren Betrag gleich 1 ist. Die beiden Grundzust\u00e4nde kann man also als linear unabh\u00e4ngige Vektoren auffassen. Der Einfachheit halber wollen wir sie mit den kanonischen Basisvektoren identifizieren:<\/p>\n<div><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/4formel1.gif\" alt=\"\" \/><\/div>\n<p>Ein Spielzug ist dann nichts anderes als eine Abbildung\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/5r2nachr2.gif\" alt=\"\" align=\"absmiddle\" \/>. Um genauer zu sein, handelt es sich um eine lineare Abbildung, \u00e4hnlich der linearen Funktionen, die man aus der Schulmathematik kennt. In der Vektor-Algebra l\u00e4sst sich eine lineare Abbildung ganz einfach dadurch darstellen, dass eine 2&#215;2-Matrix (die sogenannte &#8220;darstellende Matrix&#8221;) mit dem entsprechenden (Spalten-)Vektor multipliziert wird. N\u00e4heres hierzu k\u00f6nnen Sie\u00a0<a href=\"\/kleine_einfuehrung_in_die_matrixrechnung\" >in einem Extra-Abschnitt nachlesen<\/a>.<\/p>\n<p>Den beiden klassischen Z\u00fcgen &#8220;nicht umdrehen&#8221; und &#8220;umdrehen&#8221; entsprechen die folgenden Abbildungs-Matrizen:<\/p>\n<div><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/6formel3.gif\" alt=\"\" \/><\/div>\n<p>Anschaulich handelt es sich bei\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/6.1n.gif\" alt=\"\" align=\"abstop\" \/>\u00a0um die identische Abbildung und bei\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/7u.gif\" alt=\"\" align=\"abstop\" \/>\u00a0um eine Spiegelung an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten. In der Schule kennt man diese Abbildung im Zusammenhang mit der Umkehrfunktion, die ja quasi x und y vertauscht. Hier tut sie genau dasselbe, nur dass sie jetzt die beiden Komponenten des Zustands-Vektors vertauscht.<\/p>\n<h3>Die Quanten-Strategie:<\/h3>\n<p>Der Trick besteht nun darin, die M\u00fcnze durch einen geschickten Zug zun\u00e4chst in einen Zustand zu bringen, der von\u00a0<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/7u.gif\" alt=\"\" width=\"11\" height=\"15\" align=\"abstop\" border=\"0\" \/>\u00a0nicht ver\u00e4ndert wird. Da\u00a0<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/7u.gif\" alt=\"\" width=\"11\" height=\"15\" align=\"abstop\" border=\"0\" \/>eine Achsenspiegelung ist, liegen die Fixpunkte auf der Achse. Die Abbildung<\/p>\n<div><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/8formel4.gif\" alt=\"\" \/><\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>bringt die M\u00fcnze aus dem Zustand\u00a0<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/1z.gif\" alt=\"\" width=\"18\" height=\"17\" align=\"absmiddle\" border=\"0\" \/>\u00a0in den Zustand<\/p>\n<div><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/9formel5.gif\" alt=\"\" \/><\/div>\n<p>Bei\u00a0<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/11.1q.gif\" alt=\"\" width=\"12\" height=\"18\" align=\"absmiddle\" border=\"0\" \/>\u00a0handelt es sich um eine Achsenspiegelung, deren Achse den Winkel zwischen der Spiegelachse von\u00a0<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/7u.gif\" alt=\"\" width=\"11\" height=\"15\" align=\"abstop\" border=\"0\" \/>\u00a0und der X-Achse halbiert:<\/p>\n<div><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/10diagram2.gif\" alt=\"\" \/><\/div>\n<p>Ganz egal ob Bob nun die M\u00fcnze dreht oder nicht, ihr Zustand bleibt gleich! Nun muss Alice nur ein zweites Mal\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/11.1q.gif\" alt=\"\" align=\"absmiddle\" \/>\u00a0anwenden, um die M\u00fcnze wieder in den Zustand\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/1z.gif\" alt=\"\" align=\"absmiddle\" \/>\u00a0zur\u00fcck zu versetzen und hat gewonnen.<\/p>\n<p>Auf der folgenden Seite k\u00f6nnen Sie das Spiel noch einmal spielen und dabei beobachten, wie sich der Zustand der M\u00fcnze von Zug zu Zug \u00e4ndert.<\/p>\n<h3>Testspiel &#8220;mit offenen Karten&#8221;<\/h3>\n<p>Dieses Mal k\u00f6nnen Sie mitverfolgen, wie sich der Zustand der M\u00fcnze \u00e4ndert.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20GIF\/3%20Testspiel%20mit%20offenen%20Karten.gif\" alt=\"\" \/><\/p>\n<h3>Bemerkungen<\/h3>\n<p>Vermutlich wird sie das eben behandelte Spiel nicht besonders \u00fcberzeugen, da es doch arg konstruiert aussieht: Alice benutzt nicht nur die Quantenmechanik zu ihrem Vorteil, sondern darf auch noch doppelt so oft ziehen wie Bob. Leider kann Alice nur in dieser Konstellation mit Hilfe der Quantenmechanik Kapital aus dem Spiel schlagen:<\/p>\n<ul>\n<li>Wenn Bob nach Alice ein zweites Mal ziehen darf, kann Alice nicht im Voraus wissen, wie er sich entscheiden wird. Es macht also keinen Sinn, die M\u00fcnze so zu pr\u00e4parieren, dass einer der beiden Zust\u00e4nde wahrscheinlicher ist als der andere. Der Zustand, in dem die M\u00fcnze &#8220;resistent&#8221; gegen das Umdrehen ist, ist aber vertrackterweise genau derjenige, in dem &#8220;Zahl&#8221; und &#8220;Adler&#8221; bei einer Messung mit gleicher Wahrscheinlichkeit gefunden werden&#8230;<\/li>\n<li>Darf Bob am Anfang ein Zus\u00e4tzliches Mal ziehen, so befindet sich die M\u00fcnze vor Alices erstem Zug nicht mehr grunds\u00e4tzlich im Zustand &#8220;Zahl&#8221;. Nun m\u00fcsste Alice eine Abbildung benutzen, die beide (linear unabh\u00e4ngigen) Zust\u00e4nde in ein und denselben Zustand \u00fcberf\u00fchrt. Solch eine Operation ist jedoch quantenmechanisch nicht erlaubt (sie ist nicht unit\u00e4r).<\/li>\n<\/ul>\n<p>Dieses Beispiel ist jedoch einfach genug, um die zugrunde liegenden Prinzipien zu begreifen. Im folgenden werden Sie ein weiteres Beispiel kennenlernen, das nicht so konstruiert wirkt.<\/p>\n<h3>3. Das &#8220;Gefangenen-Dilemma&#8221;<\/h3>\n<p>Das folgende Spiel ist unter dem Namen &#8220;Gefangenen-Dilemma&#8221; (englisch:\u00a0<em>Prisoners&#8217; dilemma<\/em>) bekannt. Normalerweise geht es bei diesem Spiel um zwei Gefangene, die sich gegenseitig verpfeifen k\u00f6nnen. Wir wollen dieses Spiel hier in einer &#8220;entsch\u00e4rften&#8221; Version betrachten:<\/p>\n<p>Alice und Bob erhalten vom Spielleiter jeweils eine M\u00fcnze. Nun haben beide unabh\u00e4ngig voneinander folgende Wahlm\u00f6glichkeiten:<\/p>\n<ul>\n<li>Sie k\u00f6nnen\u00a0<strong>kooperieren<\/strong>, indem sie die M\u00fcnze mit der Zahl nach oben zur\u00fcckgeben.<\/li>\n<li>Sie k\u00f6nnen\u00a0<strong>nicht kooperieren<\/strong>\u00a0und die M\u00fcnze mit dem Adler nach oben zur\u00fcckgeben.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Abh\u00e4ngig von Alices und Bobs Wahl zahlt der Spielleiter nun die Gewinne aus:<\/p>\n<ul>\n<li>Wenn beide Spieler kooperieren, erhalten beide 3 Euro.<\/li>\n<li>Wenn nur einer kooperiert, erh\u00e4lt er gar nichts, der nicht kooperierende Spieler aber 5 Euro.<\/li>\n<li>Kooperiert keiner, erh\u00e4lt jeder nur einen Euro.<\/li>\n<\/ul>\n<table border=\"1\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>Zug<\/td>\n<td>Bob kooperiert<\/td>\n<td>Bob kooperiert nicht<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Alice kooperiert<\/td>\n<td>Alice: 3<\/p>\n<div>Bob: 3<\/div>\n<\/td>\n<td>Alice: 0<br \/>\nBob: 5<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Alice kooperiert nicht<\/td>\n<td>Alice: 5<br \/>\nBob: 0<\/td>\n<td>Alice: 1<br \/>\nBob: 1<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Auf der folgenden Seite k\u00f6nnen Sie das Spiel probespielen. Versuchen Sie doch einmal, eine gewinntr\u00e4chtige Strategie zu finden!<\/p>\n<h3>Testspiel<\/h3>\n<p>Hier zur Erinnerung nochmal das Gewinnschema:<\/p>\n<table border=\"1\">\n<tbody>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td align=\"center\">\u00a0Alice kooperiert<\/td>\n<td align=\"center\">Alice kooperiert nicht<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"left\">\u00a0Sie kooperieren (liegenlassen)<\/td>\n<td align=\"center\">Alice: 3<br \/>\nSie: 3<\/td>\n<td align=\"center\">\u00a0Alice: 5<br \/>\nSie: 0<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u00a0Sie kooperieren nicht (umdrehen)<\/td>\n<td align=\"center\">\u00a0Alice: 0<br \/>\nSie: 5<\/td>\n<td align=\"center\">\u00a0Alice: 1<br \/>\nSie: 1<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<h3><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20GIF\/4Testspiel.gif\" alt=\"\" \/><\/h3>\n<h3>Das Dilemma<\/h3>\n<p>Vielleicht haben Sie das Dilemma ja bereits selbst erkannt. Wenn nicht, k\u00f6nnen Sie es hier nachlesen:<\/p>\n<p>F\u00fcr den Fall, dass Ihr Gegenspieler kooperiert, haben Sie folgende Wahlm\u00f6glichkeiten:<\/p>\n<ul>\n<li>Wenn Sie ebenfalls kooperieren, erhalten Sie 3 Euro,<\/li>\n<li>wenn Sie nicht kooperieren, erhalten Sie 5 Euro.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Sollte Ihr Gegenspieler sich dazu entschlie\u00dfen, nicht zu kooperieren, so haben Sie diese M\u00f6glichkeiten:<\/p>\n<ul>\n<li>Sie kooperieren und erhalten gar nichts oder<\/li>\n<li>Sie kooperieren nicht und erhalten einen Euro.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Egal wie die Wahl Ihres Kontrahenten ausf\u00e4llt, Sie erhalten stets mehr Gewinn, wenn Sie nicht kooperieren. Wenn nun aber beide Spieler nicht kooperieren, ist der Gesamt-Ertrag ausgerechnet der niedrigste aller m\u00f6glichen Gesamtertr\u00e4ge! Keiner der beiden Spieler kann jedoch seinen Ertrag erh\u00f6hen, wenn nur er seine Strategie \u00e4ndert. Dies ist das Dilemma an diesem Spiel. Nat\u00fcrlich w\u00fcrden wir Ihnen das Spiel nicht vorstellen, wenn die Quantenmechanik keine L\u00f6sung parat h\u00e4tte. Im Folgenden wollen wir diese ein wenig erl\u00e4utern.<\/p>\n<h3>Das Dilemma &#8211; quantenmechanische Betrachtung<\/h3>\n<p>Die quantenmechanische Betrachtung des Gefangenen-Dilemmas beruht auf einem Artikel von Jens Eisert, Martin Wilkens und Maciej Lewenstein[2]. Da die Theorie dieses Spiels sehr kompliziert ist, kann sie hier nur in Ausz\u00fcgen wiedergegeben werden. Wer sich f\u00fcr den Artikel interessiert, findet am Ende dieser Lektion die Literaturangabe.<\/p>\n<p>Das erste, woran Sie jetzt wahrscheinlich denken, ist dieselbe Vorgehensweise wie beim vorherigen Spiel: Das Zulassen von Superpositionen der beiden Spielz\u00fcge &#8220;kooperieren&#8221; und &#8220;nicht kooperieren&#8221;.<\/p>\n<p>Leider f\u00fchrt das nicht zum gew\u00fcnschten Resultat. Die folgende Grafik zeigt Alices Gewinn in Abh\u00e4ngigkeit von ihrem (<img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/11ua.gif\" alt=\"\" align=\"absmiddle\" \/>) und Bobs (<img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/12ub.gif\" alt=\"\" align=\"absmiddle\" \/>) Spielzug. Da es neben den Kombinationen von &#8220;kooperieren&#8221; (<strong>C<\/strong>) und &#8220;nicht kooperieren&#8221; (<strong>D<\/strong>) noch weitere quantenmechanisch m\u00f6gliche (=<em>unit\u00e4re<\/em>) Spielz\u00fcge gibt, existiert ein weiterer extrem-Zug\u00a0<strong>Q<\/strong>. Den Grund hierf\u00fcr k\u00f6nnen Sie\u00a0<a href=\"\/m31_parametrisierung_der_Spielzuege\" >auf einer Extra-Seite nachlesen.<\/a><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/13diagram3.gif\" alt=\"\" \/><\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Man sieht: Bei jedem von Bobs m\u00f6glichen Spielz\u00fcgen\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/12ub.gif\" alt=\"\" align=\"absmiddle\" \/>\u00a0erh\u00e4lt Alice den h\u00f6chsten Gewinn, wenn Sie die Strategie\u00a0<strong>D<\/strong>\u00a0(&#8220;nicht kooperieren&#8221;) w\u00e4hlt.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h3>Die L\u00f6sung des Dilemmas<\/h3>\n<p>Der Schl\u00fcssel zur L\u00f6sung des Dilemmas hei\u00dft verschr\u00e4nkter Zustand. Normalerweise befinden sich die beiden M\u00fcnzen zu Beginn des Spiels im Zustand &#8220;Zahl&#8221;. F\u00fcr den Verlauf des Spiels ist der Ausgangszustand der M\u00fcnzen allerdings v\u00f6llig unerheblich, solange er<\/p>\n<ul>\n<li>beiden Spielern bekannt und<\/li>\n<li>bei beiden M\u00fcnzen derselbe ist.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Anstatt also im Zustand &#8220;beide M\u00fcnzen zeigen Zahl&#8221; (quantenmechanisch als Vektor geschrieben:\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/14zz.gif\" alt=\"\" align=\"absmiddle\" \/>) zu starten, beginnen wir in einem zun\u00e4chst beliebigen anderen Zustand\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/15j_zz.gif\" alt=\"\" align=\"absmiddle\" \/>\u00a0(J stellt eine beliebige Vektor-Abbildung dar). Die Darstellung mit der Abbildung J wurde gew\u00e4hlt, weil das Spiel, wenn beide Spieler kooperieren, sich am Ende wieder im Zustand\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/14zz.gif\" alt=\"\" align=\"absmiddle\" \/>\u00a0befinden muss. Dies kann hier ganz einfach erreicht werden, indem nach dem Ausf\u00fchren der Spielz\u00fcge\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/11ua.gif\" alt=\"\" align=\"absmiddle\" \/>\u00a0und\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/12ub.gif\" alt=\"\" align=\"absmiddle\" \/>\u00a0die Umkehrabbildung\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/16j-1.gif\" alt=\"\" align=\"absmiddle\" \/>\u00a0angewendet wird. Der Endzustand des Spiels sieht also folgenderma\u00dfen aus:<\/p>\n<div><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/17psi_f.gif\" alt=\"\" \/><\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Der Trick besteht nun darin, die Anfangszust\u00e4nde der beiden M\u00fcnzen verschr\u00e4nkt zu w\u00e4hlen, d.h. wenn sich der Zustand der einen M\u00fcnze \u00e4ndert, beeinflusst das auch den Zustand der zweiten M\u00fcnze.<\/p>\n<p>Wie Sie auf der folgenden Seite sehen k\u00f6nnen, l\u00f6st sich das Dilemma in Wohlgefallen auf, wenn man den Anfangszustand der beiden M\u00fcnzen mit maximaler Verschr\u00e4nkung w\u00e4hlt.<\/p>\n<h3>Das maximal verschr\u00e4nkte Spiel<\/h3>\n<p>W\u00e4hlt man den Ausgangszustand des Spiels maximal verschr\u00e4nkt, so ergibt sich eine v\u00f6llig neue Situation. Solange sich die Spieler auf die klassischen Zugm\u00f6glichkeiten\u00a0<strong>C<\/strong>\u00a0und\u00a0<strong>D<\/strong>\u00a0beschr\u00e4nken, bleibt alles beim alten, und &#8220;beide kooperieren nicht&#8221; bleibt der strategisch g\u00fcnstigste Zug mit dem geringsten Gesamtertrag. L\u00e4sst man nun alle quantenmechanisch m\u00f6glichen Z\u00fcge zu, so ergibt sich folgendes neue Diagramm f\u00fcr Alices Gewinn:<\/p>\n<div><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/18diagram5.gif\" alt=\"\" \/><\/div>\n<p>Wenn Bob nun\u00a0<strong>C<\/strong>\u00a0spielt, ist immer noch\u00a0<strong>D<\/strong>\u00a0die g\u00fcnstigste Wahl. Spielt Bob jedoch seinerseits\u00a0<strong>D<\/strong>, so kontert Alice besser mit dem neuen &#8220;Quantenzug&#8221;\u00a0<strong>Q<\/strong>, der ihr satte f\u00fcnf Euro einbringt.\u00a0<strong>D<\/strong>\u00a0ist also nicht mehr in allen Situationen der beste Zug. Im Gegenteil: Jeder Spieler kann nun seinen Gewinn erh\u00f6hen, wenn er von D\u00a0 abweicht, der andere aber immer noch<strong>\u00a0D<\/strong>\u00a0spielt.<\/p>\n<p>Der neue Zug\u00a0<strong>Q<\/strong>\u00a0l\u00f6st nun\u00a0<strong>D<\/strong>\u00a0als statistisch beste Wahl ab, doch nun ist der Gesamt-Ertrag maximal (beide erhalten 3 Euro), wenn beide Spieler\u00a0<strong>Q<\/strong>spielen; das Dilemma ist also beseitigt!<\/p>\n<p>Auf der folgenden Seite k\u00f6nnen Sie das Spiel nocheinmal mit maximaler Verschr\u00e4nkung spielen, wobei Ihnen und Alice auch der Quantenzug\u00a0<strong>Q<\/strong>zur Verf\u00fcgung steht.<\/p>\n<h3>Testspiel mit maximaler Verschr\u00e4nkung<\/h3>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/19tabelle3.gif\" alt=\"\" \/><\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20GIF\/5%20Testspiel%20mit%20maximaler%20Verschr%C3%A4nkung.gif\" alt=\"\" \/><\/p>\n<h3>4. Diskussion<\/h3>\n<p>Die hier diskutierten Beispiele sind in der Realit\u00e4t so nat\u00fcrlich nicht durchf\u00fchrbar, da ein makroskopisches Objekt wie eine M\u00fcnze niemals in eine Superposition mehrerer Eigenzust\u00e4nde gebracht werden kann. Ein M\u00fcnze ist allerdings wesentlich anschaulicher als z. B. ein Elektron, mit dem die beiden Spiele zumindest theoretisch m\u00f6glich w\u00e4ren.<\/p>\n<p>Im Zuge der Forschung an Quantencomputern w\u00e4re es jedoch durchaus denkbar, eine Art &#8220;Quanten-Gameboy&#8221; zu entwickeln, mit dem solche Spiele tats\u00e4chlich spielbar w\u00e4ren.<\/p>\n<p><strong>Externer Link:<\/strong><\/p>\n<p>Peter Marzlin an der Universit\u00e4t Konstanz hat das Spiel\u00a0<a href=\"http:\/\/physics.stfx.ca\/?q=node\/13\" >Quantum Mine Sweeper<\/a>\u00a0programmiert, das auf \u00a0der sogenannten &#8220;wechselwirkungsfreien Quantenmessung&#8221; beruht (Elitzur-Vaidman-Effekt).<\/p>\n<p><strong>Quellen:<\/strong><br \/>\n[1] D. Meyer, Quantum Strategies, Physical Review Letters 82, 1052 (1999).<br \/>\n[2] J. Eisert, M. Wilkens, M. Lewenstein, Quantum Games and Quantum Strategies, Physical Review Letters 83, 3077 (1999).<\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Was Sie in dieser Lektion erwartet In dieser Lektion erahren Sie etwas dar\u00fcber, welche Auswirkungen die Anwendung der Quantenmechanik auf Teilgebiete der Spieltheorie haben k\u00f6nnte. Sie werden sehen, dass Quanten-Strategien den klassischen Strategien \u00fcberlegen sein k\u00f6nnen . Die Grundidee dabei ist die Ausnutzung des Superpositionsprinzip. 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