{"id":79,"date":"2018-01-14T21:01:43","date_gmt":"2018-01-14T21:01:43","guid":{"rendered":"http:\/\/134.169.6.169\/milq\/?page_id=79"},"modified":"2026-04-08T15:37:27","modified_gmt":"2026-04-08T13:37:27","slug":"schrodingergleichung-qualitativ","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.milq.info\/en\/spezialgebiete\/schrodingergleichung-qualitativ\/","title":{"rendered":"Schr\u00f6dingergleichung qualitativ"},"content":{"rendered":"<div id=\"bsf_rt_marker\"><\/div><p><\/p>\n<h2>Ein intuitiver Zugang zur Schr\u00f6dingergleichung<\/h2>\n<p style=\"text-align: center;\">1. Die Schr\u00f6dingergleichung\u00a0&#8211;\u00a02. Die Gekr\u00fcmmtheit\u00a0&#8211;\u00a03. L\u00f6sung mit dem Computer\u00a0&#8211;\u00a04. Zu den Orbitalen<\/p>\n<h3>zur Beschreibung von Energieniveaus und Orbitalen<\/h3>\n<p>von J. K\u00fcblbeck, Ludwigsburg<br \/>\n(Eine ausf\u00fchrlichere Version dieser Lektion ist erschienen in MNU 55\/1 (Jan. 2002), S. 7.)<\/p>\n<h4>Vorbemerkung<\/h4>\n<p>Wir wollen hier zeigen, wie die Beschreibung der Energieniveaus und im Ansatz auch der Orbitale m\u00f6glich ist. Wir wollen dabei:<\/p>\n<ul>\n<li>zum Einen ein zeitgem\u00e4\u00dfes Atommodell benutzen, auf dem an der Hochschule aufgebaut werden kann und<\/li>\n<li>zum Anderen zeigen, wie unter Einsatz von &#8220;Gef\u00fchl f\u00fcr Funktionen&#8221; und einem Computer die Schulmathematik nicht \u00fcberstrapaziert wird.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Das Atommodell von Bohr hat viele Jahrzehnte die Atomphysik im Schulunterricht bestimmt. Einfachheit und Anschaulichkeit sind seine Vorz\u00fcge, aber auch seine &#8220;t\u00f6dlichen&#8221; Schw\u00e4chen.<\/p>\n<p>Bohr postuliert diskrete Bahnen, auf denen die Elektronen kreisen. Diese Vorstellung ist derart unvereinbar mit den Wesensz\u00fcgen der Quantenphysik (z.B. Unbestimmtheit), dass ein Sch\u00fcler vorher in der Quantenphysik Gelerntes in Frage stellen muss: &#8220;Gelten diese Wesensz\u00fcge etwa nicht mehr, wenn sich die Quantenobjekte im Feld eines Atomkerns aufhalten?&#8221; Zudem m\u00fcssten bekanntlich die kreisenden Elektronen Energie abstrahlen und in den Kern st\u00fcrzen und zwar in einer Zeit, die um etwa 40 Gr\u00f6\u00dfenordnungen kleiner als der experimentelle Wert f\u00fcr die Lebensdauer der Atome ist.<\/p>\n<p>Eine derart eklatante Diskrepanz wird nat\u00fcrlich auch nicht durch ein Postulat beseitigt, das besagt, dass die Elektronen &#8220;strahlungsfrei&#8221; kreisen. Zudem hat Bohrs Atommodell und seine Formel f\u00fcr die Energieniveaus keine gro\u00dfe Allgemeing\u00fcltigkeit. Es gelingt allein die quantitative Beschreibung des unbeeinflussten Wasserstoffatoms (und mit nicht allzu gro\u00dfer Genauigkeit die N\u00e4herung f\u00fcr die Ka-Linien nach Moseley). F\u00fcr Wasserstoff in elektrischen oder magnetischen Feldern und f\u00fcr alle anderen Atome oder Molek\u00fcle versagt das Modell.<\/p>\n<p>Auch die diskreten Energieniveaus musste Bohr postulieren. Um sie zu &#8220;begr\u00fcnden&#8221; wird als Aufsatz auf Bohrs Atommodell oft die Welle im unendlich hohen Potential betrachtet. Dies ist nat\u00fcrlich kaum zu motivieren und zu rechtfertigen, wenn man mit den Sch\u00fclern vorher ein Quantenphysik-Modell entwickelt hat, das dem Wellenmodell weit \u00fcberlegen ist.<\/p>\n<p><strong>Wenn es also eine quantitative Beschreibung der Atome gibt, die<\/strong><\/p>\n<ol>\n<li><strong>allgemeing\u00fcltiger ist,<\/strong><\/li>\n<li><strong>die quantenphysikalischen Wesensz\u00fcge widerspiegelt und<\/strong><\/li>\n<li><strong>in der Schule vermittelbar ist,<\/strong><\/li>\n<\/ol>\n<p><strong>dann ist dieser Beschreibung unbedingt der Vorzug vor Bohrs Atommodell zu geben<\/strong><\/p>\n<h3>1. Die Schr\u00f6dingergleichung<\/h3>\n<p>Mit der komplexwertigen Schr\u00f6dingergleichung gelingt die Beschreibung von zeitabh\u00e4ngigen Ph\u00e4nomenen. Wenn keine Kr\u00e4fte wirken wie bei den Ausbreitungsph\u00e4nomenen (z.B. beim Doppelspaltversuch) reduziert sich die Schr\u00f6dingergleichung zu einer einfachen Wellengleichung, so dass Wahrscheinlichkeitsvorhersagen mit dem Zeigerformalismus wie in der Wellenoptik m\u00f6glich sind. Elektronen sind allerdings im Atom Kr\u00e4ften ausgesetzt, so dass eine Beschreibung mit Zeigern nicht mehr gelingt. Allerdings sind die Zust\u00e4nde nun station\u00e4r, so dass statt mit der komplexen, zeitabh\u00e4ngigen nun mit der reellen, zeitunabh\u00e4ngigen Schr\u00f6dingergleichung gearbeitet werden kann:<\/p>\n<div><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/schroedingergleichung\/Eqn1.gif\" alt=\"\" width=\"506\" height=\"59\" \/><\/div>\n<p>Dabei soll E die Energie des Mikroobjekts sein und E<sub>L<\/sub>(x) ist das Potential, also die Lageenergie, die ein klassisches Teilchen in diesem Potential h\u00e4tte.<\/p>\n<p>Nun ist auch diese zeitabh\u00e4ngige Schr\u00f6dingergleichung je nach physikalischer Situation leichter oder schwieriger zu l\u00f6sen, je nachdem welche Form das Potential E<sub>L<\/sub>(x) hat, in dem sich das Quantenobjekt aufh\u00e4lt. Wenn\u00a0<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Schroedingergleichung\/Eqn4.gif\" alt=\"\" width=\"68\" height=\"22\" align=\"absmiddle\" border=\"0\" hspace=\"0\" \/>\u00a0ist, so erhalten wir den ortsabh\u00e4ngigen Teil der Wellengleichung f\u00fcr \u03c8(x).<\/p>\n<p>Vor dem Hintergrund der Modellbildung halten wir eine Herleitung der Schr\u00f6dingergleichung im Unterricht nicht f\u00fcr n\u00f6tig. Es gen\u00fcgt zu sagen, dass es dem Nobelpreistr\u00e4ger E. Schr\u00f6dinger mit Intuition und scharfem Nachdenken gelungen ist, eine Gleichung aufzustellen, welche die Welt der Quanten hervorragend bescheibt &#8211; und die Gleichung anzugeben. Da wir in der Schule speziell an der Beschreibung von Atomen interessiert sind, soll die Schr\u00f6dingergleichung mit Coulombpotential untersucht werden.<\/p>\n<div><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/schroedingergleichung\/Eqn2.gif\" alt=\"\" \/><\/div>\n<p>Diese Differentialgleichung kann nat\u00fcrlich mit den Sch\u00fclern nicht ohne Computerhilfe gel\u00f6st werden. Ich halte es aber auch nicht f\u00fcr legitim, nun die Differentialgleichung einfach numerisch zu l\u00f6sen, ohne dass die Sch\u00fcler die L\u00f6sungen wenigstens qualitativ verstehen. Damit ist gemeint, dass die Sch\u00fcler verstehen,\u00a0erstens\u00a0wie eine L\u00f6sung f\u00fcr ein bestimmtes Potential ungef\u00e4hr aussehen muss und\u00a0zweitens\u00a0wie es zu diskreten Energieniveaus (vgl. Abschnitt 2) kommt.<\/p>\n<h3>2. Die Gekr\u00fcmmtheit<\/h3>\n<p>Zu\u00a0erstens: \u03c8&#8221;(x) k\u00f6nnte man &#8220;Gekr\u00fcmmtheit&#8221; (Die Kr\u00fcmmung im mathematischen Sinne ist dagegen eine Funktion der zweiten und der ersten Ableitung.) der Kurve nennen. Ist \u03c8&#8221;(x) &gt; 0 macht das Schaubild f\u00fcr wachsende x eine Linkskurve und umgekehrt.<\/p>\n<div><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/schroedingergleichung\/Abb1.gif\" alt=\"\" \/><\/div>\n<p align=\"center\">Abb. 1: L\u00f6sung von\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/schroedingergleichung\/Eqn5.gif\" alt=\"\" align=\"absmiddle\" \/>.<\/p>\n<p>Betrachten wir den Fall E<sub>L<\/sub>(x) = 0, also: \u03c8&#8221;(x) = K \u00d7(- \u03c8(x)) \u00d7 E , dann ist die Gekr\u00fcmmtheit proportional zu &#8211; \u03c8(x). Wenn also z.B. \u03c8(x) positiv ist und ansteigt (s. Abbildung 1), dann ist die Gekr\u00fcmmtheit zunehmend negativ, also eine immer st\u00e4rkere Rechtskurve. Wenn \u03c8(x) daraufhin maximal wird und danach wieder abnimmt, nimmt auch die Rechtskr\u00fcmmung ab, bis \u03c8(x) die x-Achse schneidet. Dort hat die Kurve einen Wendepunkt, \u03c8(x) wird negativ und macht folglich jetzt eine Linkskurve. Diese Linkskurve wird um so st\u00e4rker, je negativer \u03c8(x) wird, bis es auch hier sein Extremum erreicht und wieder der x-Achse zustrebt. \u03c8(x) f\u00fchrt also eine Schwingung um \u03c8 = 0 aus, die Rechnung zeigt, dass es eine Sinus-Schwingung ist.<\/p>\n<p>Nach dieser Analyse ist es ein Leichtes, den Einfluss von einfachen Potentialen auf \u03c8(x) vorherzusagen: Angenommen E<sub>L<\/sub>(x) steigt mit wachsendem x langsam an (s. Abbildung 2), und E sei 0, so ist die Differenz E &#8211; E<sub>L<\/sub>(x) weiterhin positiv, ihr Betrag nimmt aber stetig ab. Infolgedessen nimmt auch die Gekr\u00fcmmtheit der Einzelschwingungen von \u03c8(x) mit wachsendem x ab.<\/p>\n<div><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/schroedingergleichung\/Abb2.gif\" alt=\"\" \/><\/div>\n<div align=\"center\">\n<p>\u00a0Abb. 2: \u03c8(x) bei geneigtem Topfboden<\/p>\n<\/div>\n<p>Da auch das 1\/r-Potential nach rechts ansteigt, zeigt unser \u03c8(x) bereits die wichtigsten Eigenschaften der \u03c8-Funktionen im Wasserstoffpotential.<\/p>\n<p>Zu\u00a0zweitens: Warum gibt es diskrete Energieniveaus? Die \u03c8(x)-Funktionen m\u00fcssen physikalisch sinnvoll sein, d.h. ihr Betragsquadrat muss au\u00dferhalb des Potentialbereichs gegen 0 gehen, ansonsten w\u00fcrde man das Quantenobjekt haupts\u00e4chlich im klassisch verbotenen Bereich finden. Dies widerspricht den experimentellen Ergebnissen.<\/p>\n<p><strong>Ein Beispiel:<\/strong><\/p>\n<p>Gegeben ist ein Kastenpotential mit endlicher Tiefe (s. Abbildung 3), und weiterhin sei E = 0. Im x-Bereich, wo E<sub>L<\/sub>(x) &lt; 0, bekommen wir die vertrauten Schwingungen, f\u00fcr die x-Werte, wo das Potential einen Sprung macht, hat &#8220;psi&#8221;(x) nun einen Wendepunkt (gestrichelte Linien).<\/p>\n<div><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/schroedingergleichung\/Abb3.gif\" alt=\"\" \/><\/div>\n<div>Abb. 3: \u03c8(x) im endlichen Potentieltopf<\/div>\n<p>Danach muss die \u03c8(x)-Funktion die Gleichung \u03c8&#8221;(x) proportional \u03c8(x) l\u00f6sen, sie verh\u00e4lt sich also exponentiell. Physikalisch sinnvoll ist allein, wenn \u03c8(x) sich an die x-Achse anschmiegt. Die Wahrscheinlichkeit \u03c8<sup>2<\/sup>(x) ist nun im klassisch verbotenen Bereich klein, aber endlich. Tats\u00e4chlich k\u00f6nnen Quantenobjekte auch solche Bereiche durchqueren. Dies ist der\u00a0<em>Tunneleffekt<\/em>. Er wurde experimentell nachgewiesen.<\/p>\n<p>Wenn nun \u03c8(x) an einer Seite festgehalten wird und die Energie E nach oben bzw. unten variiert wird, so wird auch die Kr\u00fcmmung von \u03c8(x) im gesamten Bereich gr\u00f6\u00dfer bzw. kleiner. Wir haben also &#8220;Gl\u00fcck gehabt&#8221;, wenn sich f\u00fcr unsere Energie E = 0 die Kurve von \u03c8(x) f\u00fcr gro\u00dfe x an die x-Achse anschmiegt.<\/p>\n<p>Eine etwas gr\u00f6\u00dfere Energie w\u00fcrde zu st\u00e4rkerer Oszillation von \u03c8(x) f\u00fchren, so dass \u03c8(x) nach rechts unten hin exponentiell steigen w\u00fcrde (s. Abbildung 4). Umgekehrt w\u00fcrde eine etwas kleinere Energie dazu f\u00fchren, dass \u03c8(x) nach rechts oben &#8220;entweichen&#8221; w\u00fcrde. Erst wenn die Energie deutlich h\u00f6her oder niedriger w\u00e4re, k\u00f6nnte eine halbe Oszillation mehr oder weniger in den Topfbereich passen, so dass \u03c8(x) wieder asymptotisch gegen 0 ginge. Die Randbedingungen werden also im allgemeinen f\u00fcr mehrere, ganz bestimmte diskrete Energien gel\u00f6st.<\/p>\n<div><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/schroedingergleichung\/Abb4.gif\" alt=\"\" \/><\/div>\n<p align=\"center\">Abb. 4: Die Randbedingung ist nicht erf\u00fcllt<\/p>\n<h3>3. L\u00f6sung mit dem Computer<\/h3>\n<p>Nachdem nun die wesentlichen Ideen bei der L\u00f6sung der Schr\u00f6dingergleichung f\u00fcr verschiedene Potentiale verstanden wurden, kann man die numerische Feinarbeit an den Computer abgeben. Es existiert diverse Software, die die Schr\u00f6dingergleichung f\u00fcr verschiedene Potentiale l\u00f6st. Ein Vertreter findet sich im Software-Paket von F. Bader [DoB96], ein anderer, der besonders flexibles Einstellen der Potentiale erlaubt ist in ALEA (erh\u00e4ltlich beim Klett-Verlag) enthalten. Vom Autor dieses Artikels existieren zwei Programme, die eigens f\u00fcr diesen Unterrichtsgang programmiert wurden.<\/p>\n<ol>\n<li>In\u00a0<a href=\"\/data\/_uploaded\/Downloads\/Software\/milq_soft_wippe.exe\">Schr\u00f6dingers Wippe<\/a>\u00a0kann man in einem Kastenpotential die Neigung des Kastenbodens verstellen und so den Einfluss von E<sub>L<\/sub>(x) auf die \u03c8(x)-Kurve studieren.<\/li>\n<li><a href=\"\/data\/_uploaded\/Downloads\/Software\/milq_soft_slange.exe\">Schr\u00f6dingers Schlange<\/a>\u00a0l\u00f6st die Schr\u00f6dingergleichung f\u00fcr das Coulomb-, das harmonische und das Kastenpotential mit endlicher Tiefe. Dabei k\u00f6nnen die Energieniveaus durch Verschieben von mehreren Reglern auf sechs Stellen genau eingestellt werden, bis sich die \u03c8(x)-Kurve erkennbar gut an die x-Achse anschmiegt.<\/li>\n<\/ol>\n<h3>4. Zu den Orbitalen<\/h3>\n<p>Aus dem Verlauf von \u03c8(x) erh\u00e4lt man durch Quadrieren die Wahrscheinlichkeit P(x), das Elektron bei einer Ortsmessung am Ort x nachzuweisen. Durch \u00dcbertragung der zugeh\u00f6rigen P(x)-Funktionen auf die drei Raumrichtungen erh\u00e4lt man den r\u00e4umlichen Verlauf von P(x) und damit eine stimmige Interpretation der aus der Chemie gel\u00e4ufigen Orbitale.<\/p>\n<p>Ich empfehle, dazu die P(x)-Funktionen vom Potentialtopf zu nehmen. Der Grund ist, dass die Schr\u00f6dingergleichung f\u00fcr das H-Atom eigentlich dreidimensional gel\u00f6st werden m\u00fcsste. Dies f\u00fchrt zwar zur gleichen Schr\u00f6dingergleichung (in Abh\u00e4ngigkeit vom Radius r), allerdings sind die sich ergebenden L\u00f6sungen keine \u03c8-Funktionen, sondern r\u03c8-Funktionen. Die ist auch der Grund, warum die L\u00f6sungen f\u00fcr x = 0 gegen 0 gehen, obwohl die s-Orbitale in der N\u00e4he des Atomkerns besonders hohe P(x)-Werte anzeigen. Damit das r aus den r\u03c8-Funktionen nicht herausgerechnet werden muss, begn\u00fcgt man sich mit den Orbitalen, die sich in einem dreidimensionalen Topf ergeben w\u00fcrden. Die wesentlichen Gesichtspunkte treten auch hier zutage:<\/p>\n<p>Die erste \u03c8-Funktion im Potentialtopf hat einen Bauch, die zweite zwei usw. Entsprechend hat die erste P(x)-Funktion P<sub>1<\/sub>(x) ein Gebiet maximaler Wahrscheinlichkeit, die zweite P<sub>2<\/sub>(x) zwei solche Gebiete usw. Ist P(x) in allen drei Raumrichtungen durch P<sub>1<\/sub>(x) gegeben, so erh\u00e4lt man ein s-Orbital (s. Abbildung 5, folgende Seite), durch \u00dcberlagerung von zwei ersten und einer zweiten P(x)-Funktion erh\u00e4lt man ein p-Orbital usw [s.a. Dorn\/Bader Physik 12\/13, Schroedel, S.280]. Auch die Bildung eines sp-Hybrid, ist durch \u00dcberlagerung der ersten mit der zweiten \u03c8-Funktion verst\u00e4ndlich.<\/p>\n<p>Mit den m\u00e4chtigen Werkzeugen Schr\u00f6dingergleichung und Computer ist es nun m\u00f6glich, auch f\u00fcr komplexere Situationen Vohersagen zu machen, z.B. f\u00fcr solche mit \u00e4u\u00dferen elektrischen oder magnetischen Felder oder f\u00fcr kompliziertere Atome und Molek\u00fcle. Dazu muss jeweils das richtige Potential gefunden werden bzw. die \u03c8-Funktion so abge\u00e4ndert werden, dass sie mehrere Elektronen beschreibt. Diese nichttrivialen Erweiterungen sollen aber dem Hochschulstudium vorbehalten bleiben. Was aber durch diesen Weg gelegt wurde, ist ein Fundament, auf das Erweiterungen aufgesetzt werden k\u00f6nnen, ohne dass es eingerissen und neu aufgebaut werden muss.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/schroedingergleichung\/Abb5.gif\" alt=\"\" \/><\/p>\n<p>Abb. 5: Orbitale, wie sie aus dem Kastenpotential folgen w\u00fcrden<\/p>\n<h2>Ein intuitiver Zugang zur Schr\u00f6dingergleichung<\/h2>\n<p style=\"text-align: center;\">1. Die Schr\u00f6dingergleichung\u00a0&#8211;\u00a02. Die Gekr\u00fcmmtheit\u00a0&#8211;\u00a03. L\u00f6sung mit dem Computer\u00a0&#8211;\u00a04. Zu den Orbitalen<\/p>\n<h3>zur Beschreibung von Energieniveaus und Orbitalen<\/h3>\n<p>von J. K\u00fcblbeck, Ludwigsburg<br \/>\n(Eine ausf\u00fchrlichere Version dieser Lektion ist erschienen in MNU 55\/1 (Jan. 2002), S. 7.)<\/p>\n<h4>Vorbemerkung<\/h4>\n<p>Wir wollen hier zeigen, wie die Beschreibung der Energieniveaus und im Ansatz auch der Orbitale m\u00f6glich ist. Wir wollen dabei:<\/p>\n<ul>\n<li>zum Einen ein zeitgem\u00e4\u00dfes Atommodell benutzen, auf dem an der Hochschule aufgebaut werden kann und<\/li>\n<li>zum Anderen zeigen, wie unter Einsatz von &#8220;Gef\u00fchl f\u00fcr Funktionen&#8221; und einem Computer die Schulmathematik nicht \u00fcberstrapaziert wird.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Das Atommodell von Bohr hat viele Jahrzehnte die Atomphysik im Schulunterricht bestimmt. Einfachheit und Anschaulichkeit sind seine Vorz\u00fcge, aber auch seine &#8220;t\u00f6dlichen&#8221; Schw\u00e4chen.<\/p>\n<p>Bohr postuliert diskrete Bahnen, auf denen die Elektronen kreisen. Diese Vorstellung ist derart unvereinbar mit den Wesensz\u00fcgen der Quantenphysik (z.B. Unbestimmtheit), dass ein Sch\u00fcler vorher in der Quantenphysik Gelerntes in Frage stellen muss: &#8220;Gelten diese Wesensz\u00fcge etwa nicht mehr, wenn sich die Quantenobjekte im Feld eines Atomkerns aufhalten?&#8221; Zudem m\u00fcssten bekanntlich die kreisenden Elektronen Energie abstrahlen und in den Kern st\u00fcrzen und zwar in einer Zeit, die um etwa 40 Gr\u00f6\u00dfenordnungen kleiner als der experimentelle Wert f\u00fcr die Lebensdauer der Atome ist.<\/p>\n<p>Eine derart eklatante Diskrepanz wird nat\u00fcrlich auch nicht durch ein Postulat beseitigt, das besagt, dass die Elektronen &#8220;strahlungsfrei&#8221; kreisen. Zudem hat Bohrs Atommodell und seine Formel f\u00fcr die Energieniveaus keine gro\u00dfe Allgemeing\u00fcltigkeit. Es gelingt allein die quantitative Beschreibung des unbeeinflussten Wasserstoffatoms (und mit nicht allzu gro\u00dfer Genauigkeit die N\u00e4herung f\u00fcr die Ka-Linien nach Moseley). F\u00fcr Wasserstoff in elektrischen oder magnetischen Feldern und f\u00fcr alle anderen Atome oder Molek\u00fcle versagt das Modell.<\/p>\n<p>Auch die diskreten Energieniveaus musste Bohr postulieren. Um sie zu &#8220;begr\u00fcnden&#8221; wird als Aufsatz auf Bohrs Atommodell oft die Welle im unendlich hohen Potential betrachtet. Dies ist nat\u00fcrlich kaum zu motivieren und zu rechtfertigen, wenn man mit den Sch\u00fclern vorher ein Quantenphysik-Modell entwickelt hat, das dem Wellenmodell weit \u00fcberlegen ist.<\/p>\n<p><strong>Wenn es also eine quantitative Beschreibung der Atome gibt, die<\/strong><\/p>\n<ol>\n<li><strong>allgemeing\u00fcltiger ist,<\/strong><\/li>\n<li><strong>die quantenphysikalischen Wesensz\u00fcge widerspiegelt und<\/strong><\/li>\n<li><strong>in der Schule vermittelbar ist,<\/strong><\/li>\n<\/ol>\n<p><strong>dann ist dieser Beschreibung unbedingt der Vorzug vor Bohrs Atommodell zu geben<\/strong><\/p>\n<h3>1. Die Schr\u00f6dingergleichung<\/h3>\n<p>Mit der komplexwertigen Schr\u00f6dingergleichung gelingt die Beschreibung von zeitabh\u00e4ngigen Ph\u00e4nomenen. Wenn keine Kr\u00e4fte wirken wie bei den Ausbreitungsph\u00e4nomenen (z.B. beim Doppelspaltversuch) reduziert sich die Schr\u00f6dingergleichung zu einer einfachen Wellengleichung, so dass Wahrscheinlichkeitsvorhersagen mit dem Zeigerformalismus wie in der Wellenoptik m\u00f6glich sind. Elektronen sind allerdings im Atom Kr\u00e4ften ausgesetzt, so dass eine Beschreibung mit Zeigern nicht mehr gelingt. Allerdings sind die Zust\u00e4nde nun station\u00e4r, so dass statt mit der komplexen, zeitabh\u00e4ngigen nun mit der reellen, zeitunabh\u00e4ngigen Schr\u00f6dingergleichung gearbeitet werden kann:<\/p>\n<div><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/schroedingergleichung\/Eqn1.gif\" alt=\"\" width=\"506\" height=\"59\" \/><\/div>\n<p>Dabei soll E die Energie des Mikroobjekts sein und E<sub>L<\/sub>(x) ist das Potential, also die Lageenergie, die ein klassisches Teilchen in diesem Potential h\u00e4tte.<\/p>\n<p>Nun ist auch diese zeitabh\u00e4ngige Schr\u00f6dingergleichung je nach physikalischer Situation leichter oder schwieriger zu l\u00f6sen, je nachdem welche Form das Potential E<sub>L<\/sub>(x) hat, in dem sich das Quantenobjekt aufh\u00e4lt. Wenn\u00a0<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Schroedingergleichung\/Eqn4.gif\" alt=\"\" width=\"68\" height=\"22\" align=\"absmiddle\" border=\"0\" hspace=\"0\" \/>\u00a0ist, so erhalten wir den ortsabh\u00e4ngigen Teil der Wellengleichung f\u00fcr \u03c8(x).<\/p>\n<p>Vor dem Hintergrund der Modellbildung halten wir eine Herleitung der Schr\u00f6dingergleichung im Unterricht nicht f\u00fcr n\u00f6tig. Es gen\u00fcgt zu sagen, dass es dem Nobelpreistr\u00e4ger E. Schr\u00f6dinger mit Intuition und scharfem Nachdenken gelungen ist, eine Gleichung aufzustellen, welche die Welt der Quanten hervorragend bescheibt &#8211; und die Gleichung anzugeben. Da wir in der Schule speziell an der Beschreibung von Atomen interessiert sind, soll die Schr\u00f6dingergleichung mit Coulombpotential untersucht werden.<\/p>\n<div><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/schroedingergleichung\/Eqn2.gif\" alt=\"\" \/><\/div>\n<p>Diese Differentialgleichung kann nat\u00fcrlich mit den Sch\u00fclern nicht ohne Computerhilfe gel\u00f6st werden. Ich halte es aber auch nicht f\u00fcr legitim, nun die Differentialgleichung einfach numerisch zu l\u00f6sen, ohne dass die Sch\u00fcler die L\u00f6sungen wenigstens qualitativ verstehen. Damit ist gemeint, dass die Sch\u00fcler verstehen,\u00a0erstens\u00a0wie eine L\u00f6sung f\u00fcr ein bestimmtes Potential ungef\u00e4hr aussehen muss und\u00a0zweitens\u00a0wie es zu diskreten Energieniveaus (vgl. Abschnitt 2) kommt.<\/p>\n<h3>2. Die Gekr\u00fcmmtheit<\/h3>\n<p>Zu\u00a0erstens: \u03c8&#8221;(x) k\u00f6nnte man &#8220;Gekr\u00fcmmtheit&#8221; (Die Kr\u00fcmmung im mathematischen Sinne ist dagegen eine Funktion der zweiten und der ersten Ableitung.) der Kurve nennen. Ist \u03c8&#8221;(x) &gt; 0 macht das Schaubild f\u00fcr wachsende x eine Linkskurve und umgekehrt.<\/p>\n<div><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/schroedingergleichung\/Abb1.gif\" alt=\"\" \/><\/div>\n<p align=\"center\">Abb. 1: L\u00f6sung von\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/schroedingergleichung\/Eqn5.gif\" alt=\"\" align=\"absmiddle\" \/>.<\/p>\n<p>Betrachten wir den Fall E<sub>L<\/sub>(x) = 0, also: \u03c8&#8221;(x) = K \u00d7(- \u03c8(x)) \u00d7 E , dann ist die Gekr\u00fcmmtheit proportional zu &#8211; \u03c8(x). Wenn also z.B. \u03c8(x) positiv ist und ansteigt (s. Abbildung 1), dann ist die Gekr\u00fcmmtheit zunehmend negativ, also eine immer st\u00e4rkere Rechtskurve. Wenn \u03c8(x) daraufhin maximal wird und danach wieder abnimmt, nimmt auch die Rechtskr\u00fcmmung ab, bis \u03c8(x) die x-Achse schneidet. Dort hat die Kurve einen Wendepunkt, \u03c8(x) wird negativ und macht folglich jetzt eine Linkskurve. Diese Linkskurve wird um so st\u00e4rker, je negativer \u03c8(x) wird, bis es auch hier sein Extremum erreicht und wieder der x-Achse zustrebt. \u03c8(x) f\u00fchrt also eine Schwingung um \u03c8 = 0 aus, die Rechnung zeigt, dass es eine Sinus-Schwingung ist.<\/p>\n<p>Nach dieser Analyse ist es ein Leichtes, den Einfluss von einfachen Potentialen auf \u03c8(x) vorherzusagen: Angenommen E<sub>L<\/sub>(x) steigt mit wachsendem x langsam an (s. Abbildung 2), und E sei 0, so ist die Differenz E &#8211; E<sub>L<\/sub>(x) weiterhin positiv, ihr Betrag nimmt aber stetig ab. Infolgedessen nimmt auch die Gekr\u00fcmmtheit der Einzelschwingungen von \u03c8(x) mit wachsendem x ab.<\/p>\n<div><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/schroedingergleichung\/Abb2.gif\" alt=\"\" \/><\/div>\n<div align=\"center\">\n<p>\u00a0Abb. 2: \u03c8(x) bei geneigtem Topfboden<\/p>\n<\/div>\n<p>Da auch das 1\/r-Potential nach rechts ansteigt, zeigt unser \u03c8(x) bereits die wichtigsten Eigenschaften der \u03c8-Funktionen im Wasserstoffpotential.<\/p>\n<p>Zu\u00a0zweitens: Warum gibt es diskrete Energieniveaus? Die \u03c8(x)-Funktionen m\u00fcssen physikalisch sinnvoll sein, d.h. ihr Betragsquadrat muss au\u00dferhalb des Potentialbereichs gegen 0 gehen, ansonsten w\u00fcrde man das Quantenobjekt haupts\u00e4chlich im klassisch verbotenen Bereich finden. Dies widerspricht den experimentellen Ergebnissen.<\/p>\n<p><strong>Ein Beispiel:<\/strong><\/p>\n<p>Gegeben ist ein Kastenpotential mit endlicher Tiefe (s. Abbildung 3), und weiterhin sei E = 0. Im x-Bereich, wo E<sub>L<\/sub>(x) &lt; 0, bekommen wir die vertrauten Schwingungen, f\u00fcr die x-Werte, wo das Potential einen Sprung macht, hat &#8220;psi&#8221;(x) nun einen Wendepunkt (gestrichelte Linien).<\/p>\n<div><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/schroedingergleichung\/Abb3.gif\" alt=\"\" \/><\/div>\n<div>Abb. 3: \u03c8(x) im endlichen Potentieltopf<\/div>\n<p>Danach muss die \u03c8(x)-Funktion die Gleichung \u03c8&#8221;(x) proportional \u03c8(x) l\u00f6sen, sie verh\u00e4lt sich also exponentiell. Physikalisch sinnvoll ist allein, wenn \u03c8(x) sich an die x-Achse anschmiegt. Die Wahrscheinlichkeit \u03c8<sup>2<\/sup>(x) ist nun im klassisch verbotenen Bereich klein, aber endlich. Tats\u00e4chlich k\u00f6nnen Quantenobjekte auch solche Bereiche durchqueren. Dies ist der\u00a0<em>Tunneleffekt<\/em>. Er wurde experimentell nachgewiesen.<\/p>\n<p>Wenn nun \u03c8(x) an einer Seite festgehalten wird und die Energie E nach oben bzw. unten variiert wird, so wird auch die Kr\u00fcmmung von \u03c8(x) im gesamten Bereich gr\u00f6\u00dfer bzw. kleiner. Wir haben also &#8220;Gl\u00fcck gehabt&#8221;, wenn sich f\u00fcr unsere Energie E = 0 die Kurve von \u03c8(x) f\u00fcr gro\u00dfe x an die x-Achse anschmiegt.<\/p>\n<p>Eine etwas gr\u00f6\u00dfere Energie w\u00fcrde zu st\u00e4rkerer Oszillation von \u03c8(x) f\u00fchren, so dass \u03c8(x) nach rechts unten hin exponentiell steigen w\u00fcrde (s. Abbildung 4). Umgekehrt w\u00fcrde eine etwas kleinere Energie dazu f\u00fchren, dass \u03c8(x) nach rechts oben &#8220;entweichen&#8221; w\u00fcrde. Erst wenn die Energie deutlich h\u00f6her oder niedriger w\u00e4re, k\u00f6nnte eine halbe Oszillation mehr oder weniger in den Topfbereich passen, so dass \u03c8(x) wieder asymptotisch gegen 0 ginge. Die Randbedingungen werden also im allgemeinen f\u00fcr mehrere, ganz bestimmte diskrete Energien gel\u00f6st.<\/p>\n<div><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/schroedingergleichung\/Abb4.gif\" alt=\"\" \/><\/div>\n<p align=\"center\">Abb. 4: Die Randbedingung ist nicht erf\u00fcllt<\/p>\n<h3>3. L\u00f6sung mit dem Computer<\/h3>\n<p>Nachdem nun die wesentlichen Ideen bei der L\u00f6sung der Schr\u00f6dingergleichung f\u00fcr verschiedene Potentiale verstanden wurden, kann man die numerische Feinarbeit an den Computer abgeben. Es existiert diverse Software, die die Schr\u00f6dingergleichung f\u00fcr verschiedene Potentiale l\u00f6st. Ein Vertreter findet sich im Software-Paket von F. Bader [DoB96], ein anderer, der besonders flexibles Einstellen der Potentiale erlaubt ist in ALEA (erh\u00e4ltlich beim Klett-Verlag) enthalten. Vom Autor dieses Artikels existieren zwei Programme, die eigens f\u00fcr diesen Unterrichtsgang programmiert wurden.<\/p>\n<ol>\n<li>In\u00a0<a href=\"\/data\/_uploaded\/Downloads\/Software\/milq_soft_wippe.exe\" >Schr\u00f6dingers Wippe<\/a>\u00a0kann man in einem Kastenpotential die Neigung des Kastenbodens verstellen und so den Einfluss von E<sub>L<\/sub>(x) auf die \u03c8(x)-Kurve studieren.<\/li>\n<li><a href=\"\/data\/_uploaded\/Downloads\/Software\/milq_soft_slange.exe\" >Schr\u00f6dingers Schlange<\/a>\u00a0l\u00f6st die Schr\u00f6dingergleichung f\u00fcr das Coulomb-, das harmonische und das Kastenpotential mit endlicher Tiefe. Dabei k\u00f6nnen die Energieniveaus durch Verschieben von mehreren Reglern auf sechs Stellen genau eingestellt werden, bis sich die \u03c8(x)-Kurve erkennbar gut an die x-Achse anschmiegt.<\/li>\n<\/ol>\n<h3>4. Zu den Orbitalen<\/h3>\n<p>Aus dem Verlauf von \u03c8(x) erh\u00e4lt man durch Quadrieren die Wahrscheinlichkeit P(x), das Elektron bei einer Ortsmessung am Ort x nachzuweisen. Durch \u00dcbertragung der zugeh\u00f6rigen P(x)-Funktionen auf die drei Raumrichtungen erh\u00e4lt man den r\u00e4umlichen Verlauf von P(x) und damit eine stimmige Interpretation der aus der Chemie gel\u00e4ufigen Orbitale.<\/p>\n<p>Ich empfehle, dazu die P(x)-Funktionen vom Potentialtopf zu nehmen. Der Grund ist, dass die Schr\u00f6dingergleichung f\u00fcr das H-Atom eigentlich dreidimensional gel\u00f6st werden m\u00fcsste. Dies f\u00fchrt zwar zur gleichen Schr\u00f6dingergleichung (in Abh\u00e4ngigkeit vom Radius r), allerdings sind die sich ergebenden L\u00f6sungen keine \u03c8-Funktionen, sondern r\u03c8-Funktionen. Die ist auch der Grund, warum die L\u00f6sungen f\u00fcr x = 0 gegen 0 gehen, obwohl die s-Orbitale in der N\u00e4he des Atomkerns besonders hohe P(x)-Werte anzeigen. Damit das r aus den r\u03c8-Funktionen nicht herausgerechnet werden muss, begn\u00fcgt man sich mit den Orbitalen, die sich in einem dreidimensionalen Topf ergeben w\u00fcrden. Die wesentlichen Gesichtspunkte treten auch hier zutage:<\/p>\n<p>Die erste \u03c8-Funktion im Potentialtopf hat einen Bauch, die zweite zwei usw. Entsprechend hat die erste P(x)-Funktion P<sub>1<\/sub>(x) ein Gebiet maximaler Wahrscheinlichkeit, die zweite P<sub>2<\/sub>(x) zwei solche Gebiete usw. Ist P(x) in allen drei Raumrichtungen durch P<sub>1<\/sub>(x) gegeben, so erh\u00e4lt man ein s-Orbital (s. Abbildung 5, folgende Seite), durch \u00dcberlagerung von zwei ersten und einer zweiten P(x)-Funktion erh\u00e4lt man ein p-Orbital usw [s.a. Dorn\/Bader Physik 12\/13, Schroedel, S.280]. Auch die Bildung eines sp-Hybrid, ist durch \u00dcberlagerung der ersten mit der zweiten \u03c8-Funktion verst\u00e4ndlich.<\/p>\n<p>Mit den m\u00e4chtigen Werkzeugen Schr\u00f6dingergleichung und Computer ist es nun m\u00f6glich, auch f\u00fcr komplexere Situationen Vohersagen zu machen, z.B. f\u00fcr solche mit \u00e4u\u00dferen elektrischen oder magnetischen Felder oder f\u00fcr kompliziertere Atome und Molek\u00fcle. Dazu muss jeweils das richtige Potential gefunden werden bzw. die \u03c8-Funktion so abge\u00e4ndert werden, dass sie mehrere Elektronen beschreibt. Diese nichttrivialen Erweiterungen sollen aber dem Hochschulstudium vorbehalten bleiben. Was aber durch diesen Weg gelegt wurde, ist ein Fundament, auf das Erweiterungen aufgesetzt werden k\u00f6nnen, ohne dass es eingerissen und neu aufgebaut werden muss.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/schroedingergleichung\/Abb5.gif\" alt=\"\" \/><\/p>\n<p>Abb. 5: Orbitale, wie sie aus dem Kastenpotential folgen w\u00fcrden<\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Ein intuitiver Zugang zur Schr\u00f6dingergleichung 1. Die Schr\u00f6dingergleichung\u00a0&#8211;\u00a02. Die Gekr\u00fcmmtheit\u00a0&#8211;\u00a03. L\u00f6sung mit dem Computer\u00a0&#8211;\u00a04. Zu den Orbitalen zur Beschreibung von Energieniveaus und Orbitalen von J. K\u00fcblbeck, Ludwigsburg (Eine ausf\u00fchrlichere Version dieser Lektion ist erschienen in MNU 55\/1 (Jan. 2002), S. 7.) 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