{"id":486,"date":"2018-04-23T15:40:26","date_gmt":"2018-04-23T15:40:26","guid":{"rendered":"http:\/\/www.milq.info\/?page_id=486"},"modified":"2018-04-23T15:51:10","modified_gmt":"2018-04-23T15:51:10","slug":"115-dreidimensionaler-potentialtopf","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.milq.info\/en\/115-dreidimensionaler-potentialtopf\/","title":{"rendered":"Dreidimensionaler unendlich hoher Potentialtopf"},"content":{"rendered":"
<\/div>

1. Eindimensionaler Potentialtopf<\/span><\/h3>\n

Der unendlich hohe Potentialtopf ist eines der einfachsten quantenmechanischen Systeme. Meistens werden die Wellenfunktionen f\u00fcr den Potentialtopf aus der Analogie zu einer stehenden Welle gewonnen. Man fordert, dass die Wellenfunktion am Rand des Potentialtopfs (bei x = 0 und x = a) Null werden soll. Dann “passen” nur ganz bestimmte de-Broglie-Wellenl\u00e4ngen in diesen Bereich. Es bilden sich, “stehende Elektronenwellen” aus, so dass gerade ein ganzzahliges Vielfaches der halben de-Broglie-Wellenl\u00e4nge auf die Strecke a passt:<\/p>\n

\u00a0\"\"\u00a0(n=1,2,3,…)<\/center>Das bedeutet, dass im Potentialtopf nicht jede de-Broglie-Wellenl\u00e4nge erlaubt ist. Die zum n-ten Zustand geh\u00f6rende Wellenfunktion ist:<\/p>\n

<\/center>Die entsprechende Wahrscheinlichkeitsdichte (Betragsquadrat der Wellenfunktion) ist:<\/p>\n

<\/center>Bestimmung der Energie:<\/b>
\n\u00dcblicherweise bestimmt man die Energieniveaus aus den erlaubten Wellenl\u00e4ngen mit Hilfe der de-Broglie-Beziehung\u00a0l<\/span>\u00a0= h \/p:<\/p>\n

<\/center>Setzt man die oben gewonnene Formel f\u00fcr ln ein erh\u00e4lt man die\u00a0Energieniveaus eines Elektrons im Potentialtopf:<\/b><\/p>\n

<\/center> <\/p>\n

2. Dreidimensionaler Potentialtopf<\/span><\/h3>\n


\n<\/span>Nachdem man den eindimensionalen Potentialtopf behandelt hat, stellt der dreidimensionale Potentialtopf kein Problem mehr dar, denn man kann die oben angestellte \u00dcberlegung f\u00fcr jede der drei Raumdimensionen einzeln wiederholen. Die Wellenfunktion ist das Produkt dreier Sinusfunktionen f\u00fcr jede Raumrichtung:<\/p>\n

<\/center>Die Energie setzt sich entsprechend zusammen:<\/p>\n

<\/center>Dies ist das Ergebnis, das im Haupttext ben\u00f6tigt wird.<\/p>\n

 <\/p>\n

3. Behandlung mit der Schr\u00f6dinger-Gleichung<\/span><\/h3>\n


\n<\/span>Hat man die\u00a0Schr\u00f6dinger-Gleichung im Unterricht<\/a>\u00a0plausibel gemacht und eingef\u00fchrt, ist ihre L\u00f6sung f\u00fcr den Fall des Potentialtopfs sehr einfach. Im Innern des Potentialtopfs handelt es sich einfach um die Gleichung f\u00fcr ein freies Teilchen:<\/p>\n

<\/center>Einsetzen des Ansatzes\u00a0\u00a0in diese Gleichung ergibt:<\/p>\n

<\/center>Die Randbedingungen (Verschwinden der Wellenfunktion bei x=0 und x=a) f\u00fchren zu der gleichen Bedingung wie oben:<\/p>\n

<\/center>Damit werden die Energieniveaus im Potentialtopf wie oben:<\/p>\n

<\/center><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

1. Eindimensionaler Potentialtopf Der unendlich hohe Potentialtopf ist eines der einfachsten quantenmechanischen Systeme. Meistens werden die Wellenfunktionen f\u00fcr den Potentialtopf aus der Analogie zu einer stehenden Welle gewonnen. Man fordert, dass die Wellenfunktion am Rand des Potentialtopfs (bei x = 0 und x = a) Null werden soll. 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