{"id":304,"date":"2018-04-23T07:46:47","date_gmt":"2018-04-23T07:46:47","guid":{"rendered":"http:\/\/www.milq.info\/?page_id=304"},"modified":"2026-04-10T08:13:44","modified_gmt":"2026-04-10T06:13:44","slug":"m51_verbindung_zur_chemie","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.milq.info\/en\/m51_verbindung_zur_chemie\/","title":{"rendered":"Verbindung zur Chemie"},"content":{"rendered":"<div id=\"bsf_rt_marker\"><\/div><p><\/p>\n<div id=\"content\">\n<div id=\"gpx_content\" class=\"filenum-89 cf\">\n<div class=\"GPAREA filetype-text\">\n<p>Die folgenden Beispiele stellt uns freundlicherweise Dr. Felix Schumacher aus Essen zur Verf\u00fcgung.<\/p>\n<h3>Periodische Randbedingungen<\/h3>\n<p>Die sechs p-Elektronen in einem Benzolring (C<sub>6<\/sub>H<sub>6<\/sub>) stellen ein System von drei konjugierten Doppelbindungen dar, die letztlich v\u00f6llig delokalisiert sind, also &#8211; in der Sprache der Chemiker &#8211; \u00fcber das ganze Molek\u00fcl verschmiert sind. Die Wellenfunktionen dieser Elektronen haben in der Molek\u00fclebene eine Knotenebene, und im Folgenden soll nur das Verhalten l\u00e4ngs des Benzolringes betrachtet werden; dadurch liegt dann tats\u00e4chlich ein eindimensionales Problem vor. Man erh\u00e4lt folgende Eigenfunktionen (L ist der vorl\u00e4ufig unbekannte Umfang des Benzolringes):<\/p>\n<p>Zust\u00e4nde gerader Parit\u00e4t:<\/p>\n<div><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/stories\/Eqn10ib.gif\" alt=\"\" \/><\/div>\n<p>Zust\u00e4nde ungerader Parit\u00e4t:<\/p>\n<div><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/stories\/Eqn10ib1.gif\" alt=\"\" \/><\/div>\n<p>Grundzustand:<br \/>\n<img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/stories\/Eqn10ia.gif\" alt=\"\" \/> (also eine konstante Funktion).<\/p>\n<p>Der Eindeutigkeit halber kann man sich vorstellen, dass x der Abstand des Elektrons von einem speziellen C-Atom ist, gemessen entlang des Benzolringes. Die Wellenfunktion muss dann die Periode L aufweisen.<\/p>\n<p>Im Folgenden soll der Umfang des Benzolringes, das ist die Gr\u00f6\u00dfe L, abgesch\u00e4tzt werden. Bis auf den Grundzustand sind alle Zust\u00e4nde zweifach entartet. Nimmt man das Pauli-Prinzip zu Hilfe, dann ist unter Ber\u00fccksichtigung des Spins der Elektronenzustand mit n = 0 doppelt und mit n = 1 vierfach besetzt. Die erste Anregung erfolgt von n = 1 nach n = 2.<\/p>\n<p>Wegen der periodischen Randbedingung muss zus\u00e4tzlich gelten:<\/p>\n<div>j(x) = j (x+L) und \u03c8(x) = \u03c8(x+L).<\/div>\n<p>Die Energieeigenwerte sind die folgenden:<\/p>\n<div><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/stories\/Eqn10ib2.gif\" alt=\"\" \/>.<\/div>\n<p>Also lautet die zugeh\u00f6rige Energiedifferenz :<\/p>\n<div><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/stories\/Eqn10ic.gif\" alt=\"\" \/>.<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Optisch liegt dieser \u00dcbergang im UV bei l = 200 nm; setzt man<br \/>\n<img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/stories\/Eqn10ic2.gif\" alt=\"\" \/> , erh\u00e4lt man <img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/stories\/Eqn10id.gif\" alt=\"\" \/>.<\/p>\n<p>Unter der Wurzel stehen nur Naturkonstanten und die Messgr\u00f6\u00dfe l = 200 nm. Damit kann man den Umfang des Benzolringes bestimmen; man erh\u00e4lt L = 0,832 nm. Der Abstand zweier C-Atome im Benzolring ergibt sich daraus zu<br \/>\n<img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/stories\/Eqn10ie.gif\" alt=\"\" \/><br \/>\nIn der Literatur wird d = 0,139 nm angegeben. Das ist eine Abweichung von lediglich 2%.<\/p>\n<p>Das Modell liefert bei der r\u00e4umlichen Verteilung der p-Elektronen l\u00e4ngs des Benzolrings eine konstante Wahrscheinlichkeitsdichte. Dies ist eine typische aromatische Verbindung.<\/p>\n<p>Ein Anwendungsbeispiel f\u00fcr den linearen Potentialtopf mit unendlich hohen W\u00e4nden sind die Polyene, lineare Kohlenstoff-Wasserstoffverbindungen mit konjugierten Doppelbindungen. Betrachtet man die Verbindungen der p-Elektronen entlang des Molek\u00fcls (z.B. b-Carotin), so zeigt sich, dass die Antreffwahrscheinlichkeit an den Enden des Molek\u00fcls am gr\u00f6\u00dften ist. Bei den Additionsreaktionen lagern sich die Atome immer an den Enden des Molk\u00fcls an.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p><\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Die folgenden Beispiele stellt uns freundlicherweise Dr. Felix Schumacher aus Essen zur Verf\u00fcgung. Periodische Randbedingungen Die sechs p-Elektronen in einem Benzolring (C6H6) stellen ein System von drei konjugierten Doppelbindungen dar, die letztlich v\u00f6llig delokalisiert sind, also &#8211; in der Sprache der Chemiker &#8211; \u00fcber das ganze Molek\u00fcl verschmiert sind. 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