{"id":298,"date":"2018-04-23T07:45:29","date_gmt":"2018-04-23T07:45:29","guid":{"rendered":"http:\/\/www.milq.info\/?page_id=298"},"modified":"2026-04-10T07:51:34","modified_gmt":"2026-04-10T05:51:34","slug":"m48_naeherung_des_tunneleffekts","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.milq.info\/en\/m48_naeherung_des_tunneleffekts\/","title":{"rendered":"N\u00e4herung des Tunneleffekts"},"content":{"rendered":"<div id=\"bsf_rt_marker\"><\/div><p><\/p>\n<div id=\"content\">\n<div id=\"gpx_content\" class=\"filenum-86 cf\">\n<div class=\"GPAREA filetype-text\">\n<h3>Warum liefert die angegeben L\u00f6sung nur eine N\u00e4herung f\u00fcr den Tunneleffekt?<\/h3>\n<p>Die Schr\u00f6dingergleichung ist hier im Reellen gel\u00f6st worden. Dies bedeutet, dass die L\u00f6sung zeitunabh\u00e4ngig, also rein statisch ist: Die Wellenfunktion entspricht der einer stehenden Welle und ist somit genaugenommen ungeeignet, Transportprozesse von Quantenobjekten direkt zu beschreiben. Der Begriff &#8220;Durchtunneln&#8221; passt also in diesem Zusammenhang nicht.<\/p>\n<p>Im folgenden wird ohne Rechnung gezeigt, wie man aus dem Ansatz f\u00fcr die exakte, zeitabh\u00e4ngige L\u00f6sung eine N\u00e4herung mit stehenden Wellen konstruieren kann. Diese N\u00e4herung erf\u00fcllt die leichter zu l\u00f6sende, station\u00e4re Schr\u00f6dingergleichung.<\/p>\n<h4>Ansatz f\u00fcr die exakte L\u00f6sung:<\/h4>\n<p>Quantenobjekte laufen von links auf eine Barriere zu. Die Quantenobjekte werden durch eine Wellenfunktion beschrieben, die einer fortlaufenden ebenen Welle (komplexe harmonische Welle) entspricht. An der Barriere teilt sich die Welle in eine transmittierte und eine reflektierte Teilwelle. Die Intensit\u00e4ten der Teilwellen ergeben sich aus der Tatsache, dass die einlaufende Welle und die zwei auslaufenden Teilwellen die (zeitabh\u00e4ngige) Schr\u00f6dingergleichung erf\u00fcllen m\u00fcssen.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/stories\/Tunnel_d.gif\" alt=\"\" \/><\/div>\n<p>Bei gegebener Barriereform und gegebener kinetischer Energie der Quantenobjekte l\u00e4sst sich so der Transmissionskoeffizient als Intensit\u00e4tsverh\u00e4ltnis von transmittierter zu einlaufender Welle exakt berechnen.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h4>Der zeitlich umgekehrte Prozess:<\/h4>\n<p>Die Schr\u00f6dingergleichung (zeitabh\u00e4ngige wie auch zeitunabh\u00e4ngige) besitzt im wesentlichen dieselben L\u00f6sungen, wenn die Zeitachse gespiegelt wird, also die Zeit r\u00fcckw\u00e4rts l\u00e4uft. Genau genommen muss bei der Zeitumkehr (t -&gt; -t) die Wellenfunktion durch ihre konjugiertkomplexe Wellenfunktion ersetzt werden.<\/p>\n<p>Der zeitlich umgekehrte Prozess sieht so aus, dass zwei Wellen von links und rechts so auf die Barriere zulaufen, dass sie sich bei der Barriere zu einer einzigen, nach links laufenden Welle vereinen.<\/p>\n<p><u>Bemerkung:<\/u> Intuitiv w\u00fcrde man erwarten, dass es hier auch zwei auslaufende Wellen geben sollte. Die Startbedingungen sind aber so gew\u00e4hlt, dass die nach rechts auslaufende Welle infolge destruktiver Interferenz verschwindet.<\/p>\n<h4>Die \u00dcberlagerung der beiden Prozesse:<\/h4>\n<p>Werden nun die beiden Prozesse \u00fcberlagert, dann finden sich stets Paare von zwei entgegengesetzt laufenden Wellen, die sich zu stehenden Wellen erg\u00e4nzen. Damit ist das Problem statisch geworden. Die zugeh\u00f6rige Wellenfunktion l\u00f6st also die station\u00e4re Schr\u00f6dingergleichung.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/stories\/Tunnel_s.gif\" alt=\"\" \/><\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h4>Worin liegt die N\u00e4herung?<\/h4>\n<p>Im Fall des echten Transportprozesses beschreibt der Transmissionskoeffizient das Intensit\u00e4tsverh\u00e4ltnis von transmittierter zu einlaufender Welle. Diese Definition l\u00e4sst sich nicht direkt auf den station\u00e4ren Fall \u00fcbertragen.<\/p>\n<p>Im Fall der stehenden Wellen kann rechnerisch nur das Intensit\u00e4tsverh\u00e4ltnis zwischen links bzw. rechts von der Barriere befindlichen stehenden Welle berechnet werden. Dabei kann die schw\u00e4chere rechte Welle leicht mit der transmittierten Welle identifiziert werden, w\u00e4hrend sich die st\u00e4rkere linke Welle sowohl aus der einlaufenden, wie auch der reflektierten Welle zusammensetzt. Deshalb entspricht die Intensit\u00e4t der linken Welle (station\u00e4re N\u00e4herung) nicht exakt der der einlaufenden Welle (exakte L\u00f6sung). Die N\u00e4herung besteht nun darin, die Intensit\u00e4t der einlaufenden Welle durch die der stehenden Welle auf der linken Seite zu approximieren.<\/p>\n<h4>Wann ist die N\u00e4herung gut?<\/h4>\n<p>Je geringer die Abweichung in der Intensit\u00e4t von einlaufender und reflektierter Welle ist, desto besser ist die N\u00e4herung des Transportprozesses durch den station\u00e4ren Fall. Dies ist gleichbedeutend mit einer guten N\u00e4herung bei hohem Reflexionsgrad bzw. geringem Transmissionsgrad.<br \/>\n<\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Warum liefert die angegeben L\u00f6sung nur eine N\u00e4herung f\u00fcr den Tunneleffekt? Die Schr\u00f6dingergleichung ist hier im Reellen gel\u00f6st worden. 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