{"id":290,"date":"2018-04-23T07:43:41","date_gmt":"2018-04-23T07:43:41","guid":{"rendered":"http:\/\/www.milq.info\/?page_id=290"},"modified":"2026-04-10T07:31:35","modified_gmt":"2026-04-10T05:31:35","slug":"m44_berechnung_der_energieniveaus_des_h-atoms","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.milq.info\/en\/m44_berechnung_der_energieniveaus_des_h-atoms\/","title":{"rendered":"Berechnung der Energieniveaus des H-Atoms"},"content":{"rendered":"<div id=\"bsf_rt_marker\"><\/div><p><\/p>\n<h3>Quantenmechanische Berechnung der Energieniveaus des Wasserstoff-Atoms<\/h3>\n<p>Um die Schr\u00f6dingergleichung im Coulomb-Potential zu l\u00f6sen, schreibt man sie in Kugelkoordinaten. Die Wellenfunktion l\u00e4sst sich dann in einen Radial- und einen Winkelanteil separieren:<\/p>\n<div><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/stories\/Eqn19.gif\" alt=\"\" \/><\/div>\n<p>F\u00fcr die radiale Wellenfunktion u(r) ergibt sich dann die folgende Gleichung:<\/p>\n<div><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/stories\/Eqn20.gif\" alt=\"\" \/><\/div>\n<p>Dabei ist W(r) das Coulomb-Potential. Bei dieser Gleichung handelt es sich um eine Eigenwertgleichung (vgl. Kapitel 8.6), bei der neben der Wellenfunktion \u03c8 auch noch die erlaubten Werte der Energie E zu bestimmen sind. Die Gleichung wird \u00fcblicherweise mit einem Potenzreihenansatz gel\u00f6st. Die L\u00f6sungsfunktion, die sich ergibt, ist die sogenannte <em>konfluente hypergeometrische Reihe<\/em>.<\/p>\n<p>Der entscheidende Punkt dabei ist: F\u00fcr <strong>r \u2192 \u221e <\/strong>divergiert die L\u00f6sungsfunktion im Allgemeinen. Das w\u00fcrde bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit, das Elektron im Unendlichen anzutreffen, gegen Unendlich geht. Das Eigenwertproblem hat keine physikalisch akzeptable L\u00f6sung. Nur wenn die Bedingung<\/p>\n<div><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/stories\/Eqn22.gif\" alt=\"\" \/><\/div>\n<p>erf\u00fcllt ist, geht die Radialfunktion f\u00fcr <strong>r \u2192 \u221e <\/strong>gegen Null. Die Tatsache, dass im Wasserstoffatom nicht alle Energien m\u00f6glich sind (wegen der Quantisierung der Energie) geht also auf die physikalisch geforderten Randbedingungen zur\u00fcck (hier: die L\u00f6sung muss im Unendlichen gegen Null gehen). Das ist ganz analog zum unendlich hohen Potentialtopf, wo die L\u00f6sung am Rand des Potentialtopfs Null werden muss.<\/p>\n<p>Generell gilt also die Aussage: Die Quantisierung der Energie geht auf die Randbedingungen zur\u00fcck, die man an die Wellenfunktion stellt.<br \/>\n<\/p>\n<h3>Quantenmechanische Berechnung der Energieniveaus des Wasserstoff-Atoms<\/h3>\n<p>Um die Schr\u00f6dingergleichung im Coulomb-Potential zu l\u00f6sen, schreibt man sie in Kugelkoordinaten. Die Wellenfunktion l\u00e4sst sich dann in einen Radial- und einen Winkelanteil separieren:<\/p>\n<div><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/stories\/Eqn19.gif\" alt=\"\" \/><\/div>\n<p>F\u00fcr die radiale Wellenfunktion u(r) ergibt sich dann die folgende Gleichung:<\/p>\n<div><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/stories\/Eqn20.gif\" alt=\"\" \/><\/div>\n<p>Dabei ist W(r) das Coulomb-Potential. Bei dieser Gleichung handelt es sich um eine Eigenwertgleichung (vgl. Kapitel 8.6), bei der neben der Wellenfunktion \u03c8 auch noch die erlaubten Werte der Energie E zu bestimmen sind. Die Gleichung wird \u00fcblicherweise mit einem Potenzreihenansatz gel\u00f6st. Die L\u00f6sungsfunktion, die sich ergibt, ist die sogenannte <em>konfluente hypergeometrische Reihe<\/em>.<\/p>\n<p>Der entscheidende Punkt dabei ist: F\u00fcr <strong>r \u2192 \u221e <\/strong>divergiert die L\u00f6sungsfunktion im Allgemeinen. Das w\u00fcrde bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit, das Elektron im Unendlichen anzutreffen, gegen Unendlich geht. Das Eigenwertproblem hat keine physikalisch akzeptable L\u00f6sung. Nur wenn die Bedingung<\/p>\n<div><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/image\/stories\/Eqn22.gif\" alt=\"\" \/><\/div>\n<p>erf\u00fcllt ist, geht die Radialfunktion f\u00fcr <strong>r \u2192 \u221e <\/strong>gegen Null. Die Tatsache, dass im Wasserstoffatom nicht alle Energien m\u00f6glich sind (wegen der Quantisierung der Energie) geht also auf die physikalisch geforderten Randbedingungen zur\u00fcck (hier: die L\u00f6sung muss im Unendlichen gegen Null gehen). Das ist ganz analog zum unendlich hohen Potentialtopf, wo die L\u00f6sung am Rand des Potentialtopfs Null werden muss.<\/p>\n<p>Generell gilt also die Aussage: Die Quantisierung der Energie geht auf die Randbedingungen zur\u00fcck, die man an die Wellenfunktion stellt.<br \/>\n<\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Quantenmechanische Berechnung der Energieniveaus des Wasserstoff-Atoms Um die Schr\u00f6dingergleichung im Coulomb-Potential zu l\u00f6sen, schreibt man sie in Kugelkoordinaten. Die Wellenfunktion l\u00e4sst sich dann in einen Radial- und einen Winkelanteil separieren: F\u00fcr die radiale Wellenfunktion u(r) ergibt sich dann die folgende Gleichung: Dabei ist W(r) das Coulomb-Potential. 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