{"id":284,"date":"2018-04-23T07:42:28","date_gmt":"2018-04-23T07:42:28","guid":{"rendered":"http:\/\/www.milq.info\/?page_id=284"},"modified":"2026-04-10T07:17:17","modified_gmt":"2026-04-10T05:17:17","slug":"m41_mittelung_des_coulomb-potentials","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.milq.info\/en\/m41_mittelung_des_coulomb-potentials\/","title":{"rendered":"Mittelung des Coulomb-Potentials"},"content":{"rendered":"
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Mittelung des Coulomb-Potentials \u00fcber eine Kugel mit Radius R<\/h3>\n

Eine exaktere Methode die Potentialtopf-Tiefe anzupassen besteht darin, dass das Coulomb-Potential W \u00fcber eine Kugel mit Radius R gemittelt wird.<\/p>\n

Innerhalb des Potentialtopfs hat das Potential einen konstanten Wert W0<\/sub>. Der Potentialtopf approximiert das Coulomb-Potential am besten, wenn man W0<\/sub> so w\u00e4hlt, da\u00df es die “mittlere Tiefe” des Coulomb-Potentials darstellt. Dazu berechnet man den Mittelwert \"\"des Coulomb-Potentials \u00fcber eine Kugel mit Radius R.<\/p>\n

\"\"<\/div>\n

Dabei ist \"\" das Volumen der Kugel. Einsetzen von \"\" und Ausschreiben des Volumenelements ergibt:<\/p>\n

\"\"<\/div>\n

Auswertung des Integrals: \"\" Damit wird die mittlere Energie<\/p>\n

\"\"<\/div>\n

Zum Schluss mu\u00df noch \"\" eingesetzt werden. Das Ergebnis ist:<\/p>\n

\"\"<\/div>\n

bzw.<\/p>\n

\"\"<\/div>\n

Mit dieser Beziehung, W0<\/sub> = \"\" = 3\/2 E, ist die Tiefe des Potentialtopfs (d. h. die Lage des Potentialtopfbodens unterhalb des Nullniveaus) festgelegt.<\/p>\n

Die hier verwendete Mathematik ist etwas kompliziert, da sie ein dreidimensionales Volumenintegral enth\u00e4lt. Um die hier vorgestellte Methode im Unterricht einsetzen zu k\u00f6nnen, muss man diese aufwendige Mathematik umgehen. Ein m\u00f6glicher Weg wird im Folgenden gezeigt.<\/p>\n

Man teilt die Kugel in einzelne Kugelschalen der Dicke \u0394r auf (vgl. Bild). F\u00fcr kleine \u0394r ist das Volumen einer Kugelschale \u0394V = (Kugeloberfl\u00e4che) x (Dicke) = 4\u00a0\u03c0 r2<\/sup> \u0394r. Da das Coulomb-Potential kugelsymmetrisch ist, ist es innerhalb jeder Kugelschale konstant (falls \u0394r klein genug ist) und hat den Wert W(\u0394V).<\/p>\n

\"\"<\/div>\n

Der Mittelwert wird jetzt \u00fcber alle Kugelschalen berechnet, wobei mit dem Volumen der Kugelschale gewichtet wird:<\/p>\n

\"\"<\/div>\n

Ausschreiben des Coulomb-Potentials und von \u0394V = 4\u00a0\u03c0 r2<\/sup> \u0394r liefert:<\/p>\n

\"\"<\/div>\n

Konstante Terme vor die Summe ziehen und K\u00fcrzen von r:<\/p>\n

\"\"<\/div>\n

Im Grenzwert \u0394r \u2192 0 ist dies gerade die Definition des Integrals:<\/p>\n

\"\"<\/div>\n

Einsetzen von V = 4\u03c0\/3 R3<\/sup>:<\/p>\n

\"\"<\/div>\n

K\u00fcrzen f\u00fchrt schlie\u00dflich zum Endergebnis:<\/p>\n

\"\"<\/div>\n

Auf diese Weise l\u00e4sst sich die Verwendung von Volumenintegralen vermeiden.
\n<\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Mittelung des Coulomb-Potentials \u00fcber eine Kugel mit Radius R Eine exaktere Methode die Potentialtopf-Tiefe anzupassen besteht darin, dass das Coulomb-Potential W \u00fcber eine Kugel mit Radius R gemittelt wird. Innerhalb des Potentialtopfs hat das Potential einen konstanten Wert W0. 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