{"id":266,"date":"2018-04-23T07:38:15","date_gmt":"2018-04-23T07:38:15","guid":{"rendered":"http:\/\/www.milq.info\/?page_id=266"},"modified":"2026-04-09T16:25:46","modified_gmt":"2026-04-09T14:25:46","slug":"kleine_einfuehrung_in_die_matrixrechnung","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.milq.info\/en\/kleine_einfuehrung_in_die_matrixrechnung\/","title":{"rendered":"Kleine Einf\u00fchrung in die Matrixrechnung"},"content":{"rendered":"<div id=\"bsf_rt_marker\"><\/div><p><span style=\"font-family: Geneva, Arial, Helvetica;\"><b>Matrizen, Grundrechenarten<\/b> <\/span><\/p>\n<p>Eine m x n-Matrix A=(a<sub>ij<\/sub>) ist ein rechteckiges Zahlenschema der Form<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Matrix\/1matrix.gif\" alt=\"\" \/><\/p>\n<p>wobei die Koeffizienten a<sub>ij<\/sub> (meist reelle oder komplexe) Zahlen sind. Die Zahlen m und n bezeichnen die Anzahl der Zeilen bzw. Spalten. Ein Vektor ist eigentlich nichts anderes als eine n x 1-Matrix.<\/p>\n<p>Matrizen verhalten sich bez\u00fcglich der <b>Addition<\/b> und der <b>Multiplikation mit einem Skalar<\/b> genauso wie ein Vektor:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Matrix\/2matrixadd.gif\" alt=\"\" \/><\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Matrix\/3skalmult.gif\" alt=\"\" \/><\/p>\n<p><span style=\"font-family: Geneva, Arial, Helvetica;\"><b>Matrizen-Multiplikation<\/b> <\/span><\/p>\n<p>Zaus\u00e4tzlich existiert f\u00fcr Matrizen ein <b>Matrixprodukt<\/b>, das nicht ganz so leicht zu berechnen ist: Zun\u00e4chst einmal gilt es zu beachten, dass die Matrizen-Multiplikation in aller Regel nicht kommutativ ist (AB ist meist nicht gleich BA). Der erste Faktor muss zudem genau so viele Spalten besitzen, wie der zweite Faktor Zeilen. Eine 2&#215;3-Matrix kann man mit einer 3&#215;5-Matrix multiplizieren (das Ergebnis ist eine 2&#215;5-Matrix), aber nicht umgekehrt!<\/p>\n<p>Um nun die <b>m x n-Matrix A<\/b> mit der <b>n x r-Matrix B<\/b> zu multiplizieren, geht man wie folgt vor:<br \/>\nUm den Koeffizienten in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte der Ergebnis-Matrix zu berechnen, multipliziert man<\/p>\n<ul>\n<li>den ersten Eintrag der i-ten Zeile von A mit dem ersten Eintrag der j-ten Spalte von B,<\/li>\n<li>den zweiten Eintrag der i-ten Zeile von A mit dem zweiten Eintrag der j-ten Spalte von B,<br \/>\n<b>&#8230;<\/b><\/li>\n<li>den letzten Eintrag der i-ten Zeile von A mit dem letzten Eintrag der j-ten Spalte von B<\/li>\n<\/ul>\n<p>und addiert die Ergebnisse. Wenn Sie an das Skalarprodukt im <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/r3.gif\" alt=\"\" width=\"18\" height=\"17\" align=\"absmiddle\" border=\"0\" \/> denken, sollte Ihnen das Prinzip bereits bekannt vorkommen (das Skalarprodukt im <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Quantenspiele%20Bilder\/r3.gif\" alt=\"\" width=\"18\" height=\"17\" align=\"absmiddle\" border=\"0\" \/> ist im Grunde genommen das Matrixprodukt einer 1&#215;3-Matrix und einer 3&#215;1-Matrix). Die folgende Grafik soll das ganze verdeutlichen.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Matrix\/4mat_prod.gif\" alt=\"\" \/><\/p>\n<p>F\u00fcr das Verst\u00e4ndnis der hier vorgestellten Quantenspiele reicht es indes v\u00f6llig aus, wenn Sie wissen, wie eine 2&#215;2-Matrix mit einem zweidimensionalen Vektor multipliziert wird. Die Komplexit\u00e4t der Berechnung ist hier deutlich geringer:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Matrix\/5vek_mult.gif\" alt=\"\" \/><\/p>\n<p><span style=\"font-family: Geneva, Arial, Helvetica;\"><b>Matrizen und lineare Abbildungen<\/b> (in zwei Dimensionen) <\/span><\/p>\n<p>Unter den Vektor-Abbildungen sind besonders die <b>linearen Abbildungen<\/b> von Interesse. Sie sind durch folgende Eigenschaft gekennzeichnet:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Matrix\/6lin_abb.gif\" alt=\"\" \/><\/p>\n<p>Anders ausgedr\u00fcckt hei\u00dft das: Es ist egal, ob man erst addiert bzw. Skalar-multipliziert und anschlie\u00dfend die Abbildung f anwendet, oder umgekehrt, das Ergebnis ist stets dasselbe.<\/p>\n<p>Um eine lineare Abbildung zu definieren, gen\u00fcgt es bereits, die Bilder der kanonischen Basisvektoren anzugeben:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Matrix\/7basisbild.gif\" alt=\"\" \/><\/p>\n<p>Das Bild eines allgemeinen Vektors berechnet sich dann folgenderma\u00dfen:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Matrix\/8formel6.gif\" alt=\"\" \/><\/p>\n<p>Das hei\u00dft also: Es wird einfach die Matrix, deren Spalten aus den Bildern der Basisvektoren bestehen, mit dem Vektor multipliziert. Somit kann man mit einer einzigen Matrix eine komplette lineare Abbildung definieren. Die Matrix hei\u00dft deswegen die <b>&#8220;darstellende Matrix&#8221;<\/b> der Abbildung (bez\u00fcglich der kanonischen Basis).<\/p>\n<p><span style=\"font-family: Geneva, Arial, Helvetica;\"><b>Matrizen in der Quantenmechanik<\/b> (zweidimensionale Zust\u00e4nde) <\/span><\/p>\n<p>Das besondere an quantenmechanischen Systemen ist, dass sie neben den klassisch messbaren Eigenzust\u00e4nden <img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Matrix\/9x.gif\" alt=\"\" align=\"absmiddle\" \/> und <img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Matrix\/10y.gif\" alt=\"\" align=\"absmiddle\" \/> auch komplexere Zust\u00e4nde, sogenannte <b>Superpositionen<\/b>, annehmen k\u00f6nnen. Diese Zust\u00e4nde stellen Linearkombinationen <img decoding=\"async\" src=\"\/data\/_uploaded\/Spzezial\/Matrix\/11ax_by.gif\" alt=\"\" \/> der Eigenzust\u00e4nde dar. Die ohnehin bereits linear unabh\u00e4ngigen Eigenzust\u00e4nde bilden somit die Basis eines Vektorraums.<\/p>\n<p>Da die Wellenfunktion eines Quantenzustands normiert sein muss, m\u00fcssen auch die Linearkombinationen aus den Eigenzust\u00e4nden normiert sein. Ein Vektorraum, der nur (komplexwertige) Vektoren vom Betrag eins besitzt, wird als <i>Hilbertraum<\/i> bezeichnet.<\/p>\n<p>Den Manipulationen an quantenmechanischen Zust\u00e4nden entsprechen lineare Abbildungen des Hilbertraums. Wegen der besonderen Struktur des Hilbertraums sind dabei nur bestimmte Arten von linearen Abbildungen m\u00f6glich, die sogenannten <i>unit\u00e4ren Abbildungen<\/i>. Die genaue Definition einer unit\u00e4ren Abbildung ist recht kompliziert, f\u00fcr das Verst\u00e4ndnis dieser Lektion aber nicht notwendig. Deswegen seien hier nur zwei wichtige Eigenschaften der darstellenden Matrix einer unit\u00e4ren Abbildung genannt:<\/p>\n<ul>\n<li>Die Matrix ist invertierbar, d.h. ihre Spaltenvektoren sind linear unabh\u00e4ngig.<\/li>\n<li>Der Betrag ihrer Determinante ist gleich eins.<\/li>\n<\/ul>\n<p><\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Matrizen, Grundrechenarten Eine m x n-Matrix A=(aij) ist ein rechteckiges Zahlenschema der Form wobei die Koeffizienten aij (meist reelle oder komplexe) Zahlen sind. Die Zahlen m und n bezeichnen die Anzahl der Zeilen bzw. Spalten. Ein Vektor ist eigentlich nichts anderes als eine n x 1-Matrix. 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